解決{l}{5x+y=39}{3x+4y=54} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + y = 39 } \\ { 3 x + 4 y = 54 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=6$$

$$y=9$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x+y=39,3x+4y=54$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x+y=39$$

從方程式兩邊減去 y。

$$5x=-y+39$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+39\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 -y+39。

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{39}{5}$$

在另一個方程式 3x+4y=54 中以 \frac{-y+39}{5} 代入 x在方程式。

$$3\left(-\frac{1}{5}y+\frac{39}{5}\right)+4y=54$$

3 乘上 \frac{-y+39}{5}。

$$-\frac{3}{5}y+\frac{117}{5}+4y=54$$

將 -\frac{3y}{5} 加到 4y。

$$\frac{17}{5}y+\frac{117}{5}=54$$

從方程式兩邊減去 \frac{117}{5}。

$$\frac{17}{5}y=\frac{153}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{17}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=9$$

在 x=-\frac{1}{5}y+\frac{39}{5} 中以 9 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{5}\times 9+\frac{39}{5}$$

-\frac{1}{5} 乘上 9。

$$x=\frac{-9+39}{5}$$

將 \frac{39}{5} 與 -\frac{9}{5} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=6$$

現已成功解出系統。

$$x=6,y=9$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x+y=39,3x+4y=54$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-3}&-\frac{1}{5\times 4-3}\\-\frac{3}{5\times 4-3}&\frac{5}{5\times 4-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}&-\frac{1}{17}\\-\frac{3}{17}&\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}\times 39-\frac{1}{17}\times 54\\-\frac{3}{17}\times 39+\frac{5}{17}\times 54\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=6,y=9$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x+y=39,3x+4y=54$$

讓 5x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$3\times 5x+3y=3\times 39,5\times 3x+5\times 4y=5\times 54$$

化簡。

$$15x+3y=117,15x+20y=270$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 15x+3y=117 減去 15x+20y=270。

$$15x-15x+3y-20y=117-270$$

將 15x 加到 -15x。 15x 和 -15x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$3y-20y=117-270$$

將 3y 加到 -20y。

$$-17y=117-270$$

將 117 加到 -270。

$$-17y=-153$$

將兩邊同時除以 -17。

$$y=9$$

在 3x+4y=54 中以 9 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x+4\times 9=54$$

4 乘上 9。

$$3x+36=54$$

從方程式兩邊減去 36。

$$3x=18$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=6$$

現已成功解出系統。

$$x=6,y=9$$