解決{l}{5x+9y=-10}{7x+10y=-1} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 9 y = - 10 } \\ { 7 x + 10 y = - 1 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=7$$

$$y=-5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x+9y=-10,7x+10y=-1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x+9y=-10$$

從方程式兩邊減去 9y。

$$5x=-9y-10$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(-9y-10\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 -9y-10。

$$x=-\frac{9}{5}y-2$$

在另一個方程式 7x+10y=-1 中以 -\frac{9y}{5}-2 代入 x在方程式。

$$7\left(-\frac{9}{5}y-2\right)+10y=-1$$

7 乘上 -\frac{9y}{5}-2。

$$-\frac{63}{5}y-14+10y=-1$$

將 -\frac{63y}{5} 加到 10y。

$$-\frac{13}{5}y-14=-1$$

將 14 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{13}{5}y=13$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{13}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-5$$

在 x=-\frac{9}{5}y-2 中以 -5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{9}{5}\left(-5\right)-2$$

-\frac{9}{5} 乘上 -5。

$$x=9-2$$

將 -2 加到 9。

$$x=7$$

現已成功解出系統。

$$x=7,y=-5$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x+9y=-10,7x+10y=-1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&9\\7&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&9\\7&10\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&9\\7&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&9\\7&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&9\\7&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&9\\7&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&9\\7&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{5\times 10-9\times 7}&-\frac{9}{5\times 10-9\times 7}\\-\frac{7}{5\times 10-9\times 7}&\frac{5}{5\times 10-9\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{13}&\frac{9}{13}\\\frac{7}{13}&-\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{13}\left(-10\right)+\frac{9}{13}\left(-1\right)\\\frac{7}{13}\left(-10\right)-\frac{5}{13}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-5\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=7,y=-5$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x+9y=-10,7x+10y=-1$$

讓 5x 和 7x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 7，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$7\times 5x+7\times 9y=7\left(-10\right),5\times 7x+5\times 10y=5\left(-1\right)$$

化簡。

$$35x+63y=-70,35x+50y=-5$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 35x+63y=-70 減去 35x+50y=-5。

$$35x-35x+63y-50y=-70+5$$

將 35x 加到 -35x。 35x 和 -35x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$63y-50y=-70+5$$

將 63y 加到 -50y。

$$13y=-70+5$$

將 -70 加到 5。

$$13y=-65$$

將兩邊同時除以 13。

$$y=-5$$

在 7x+10y=-1 中以 -5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$7x+10\left(-5\right)=-1$$

10 乘上 -5。

$$7x-50=-1$$

將 50 加到方程式的兩邊。

$$7x=49$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=7$$

現已成功解出系統。

$$x=7,y=-5$$