解決{l}{5x+5y=15}{4x+10y=-2} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 5 y = 15 } \\ { 4 x + 10 y = - 2 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5.333333333$$

$$y = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2.333333333$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x+5y=15,4x+10y=-2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x+5y=15$$

從方程式兩邊減去 5y。

$$5x=-5y+15$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(-5y+15\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 -5y+15。

$$x=-y+3$$

在另一個方程式 4x+10y=-2 中以 -y+3 代入 x在方程式。

$$4\left(-y+3\right)+10y=-2$$

4 乘上 -y+3。

$$-4y+12+10y=-2$$

將 -4y 加到 10y。

$$6y+12=-2$$

從方程式兩邊減去 12。

$$6y=-14$$

將兩邊同時除以 6。

$$y=-\frac{7}{3}$$

在 x=-y+3 中以 -\frac{7}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\left(-\frac{7}{3}\right)+3$$

-1 乘上 -\frac{7}{3}。

$$x=\frac{7}{3}+3$$

將 3 加到 \frac{7}{3}。

$$x=\frac{16}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x+5y=15,4x+10y=-2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\4&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{5\times 10-5\times 4}&-\frac{5}{5\times 10-5\times 4}\\-\frac{4}{5\times 10-5\times 4}&\frac{5}{5\times 10-5\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{6}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\-2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 15-\frac{1}{6}\left(-2\right)\\-\frac{2}{15}\times 15+\frac{1}{6}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{3}\\-\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x+5y=15,4x+10y=-2$$

讓 5x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$4\times 5x+4\times 5y=4\times 15,5\times 4x+5\times 10y=5\left(-2\right)$$

化簡。

$$20x+20y=60,20x+50y=-10$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 20x+20y=60 減去 20x+50y=-10。

$$20x-20x+20y-50y=60+10$$

將 20x 加到 -20x。 20x 和 -20x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$20y-50y=60+10$$

將 20y 加到 -50y。

$$-30y=60+10$$

將 60 加到 10。

$$-30y=70$$

將兩邊同時除以 -30。

$$y=-\frac{7}{3}$$

在 4x+10y=-2 中以 -\frac{7}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x+10\left(-\frac{7}{3}\right)=-2$$

10 乘上 -\frac{7}{3}。

$$4x-\frac{70}{3}=-2$$

將 \frac{70}{3} 加到方程式的兩邊。

$$4x=\frac{64}{3}$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{16}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{7}{3}$$