解決{l}{5x+4y=-3}{6x+3y=-2} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 4 y = - 3 } \\ { 6 x + 3 y = - 2 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{1}{9}\approx 0.111111111$$

$$y=-\frac{8}{9}\approx -0.888888889$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x+4y=-3,6x+3y=-2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x+4y=-3$$

從方程式兩邊減去 4y。

$$5x=-4y-3$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y-3\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 -4y-3。

$$x=-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}$$

在另一個方程式 6x+3y=-2 中以 \frac{-4y-3}{5} 代入 x在方程式。

$$6\left(-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5}\right)+3y=-2$$

6 乘上 \frac{-4y-3}{5}。

$$-\frac{24}{5}y-\frac{18}{5}+3y=-2$$

將 -\frac{24y}{5} 加到 3y。

$$-\frac{9}{5}y-\frac{18}{5}=-2$$

將 \frac{18}{5} 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{9}{5}y=\frac{8}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{9}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{8}{9}$$

在 x=-\frac{4}{5}y-\frac{3}{5} 中以 -\frac{8}{9} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{4}{5}\left(-\frac{8}{9}\right)-\frac{3}{5}$$

-\frac{4}{5} 乘上 -\frac{8}{9} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{32}{45}-\frac{3}{5}$$

將 -\frac{3}{5} 與 \frac{32}{45} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{1}{9}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x+4y=-3,6x+3y=-2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 6}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 6}\\-\frac{6}{5\times 3-4\times 6}&\frac{5}{5\times 3-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{9}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-3\right)+\frac{4}{9}\left(-2\right)\\\frac{2}{3}\left(-3\right)-\frac{5}{9}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\\-\frac{8}{9}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x+4y=-3,6x+3y=-2$$

讓 5x 和 6x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 6，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$6\times 5x+6\times 4y=6\left(-3\right),5\times 6x+5\times 3y=5\left(-2\right)$$

化簡。

$$30x+24y=-18,30x+15y=-10$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 30x+24y=-18 減去 30x+15y=-10。

$$30x-30x+24y-15y=-18+10$$

將 30x 加到 -30x。 30x 和 -30x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$24y-15y=-18+10$$

將 24y 加到 -15y。

$$9y=-18+10$$

將 -18 加到 10。

$$9y=-8$$

將兩邊同時除以 9。

$$y=-\frac{8}{9}$$

在 6x+3y=-2 中以 -\frac{8}{9} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$6x+3\left(-\frac{8}{9}\right)=-2$$

3 乘上 -\frac{8}{9}。

$$6x-\frac{8}{3}=-2$$

將 \frac{8}{3} 加到方程式的兩邊。

$$6x=\frac{2}{3}$$

將兩邊同時除以 6。

$$x=\frac{1}{9}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1}{9},y=-\frac{8}{9}$$