解決{l}{5x+2y=6}{2x+5y=8} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 6 } \\ { 2 x + 5 y = 8 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x+2y=6,2x+5y=8$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x+2y=6$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$5x=-2y+6$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+6\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 -2y+6。

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}$$

在另一個方程式 2x+5y=8 中以 \frac{-2y+6}{5} 代入 x在方程式。

$$2\left(-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}\right)+5y=8$$

2 乘上 \frac{-2y+6}{5}。

$$-\frac{4}{5}y+\frac{12}{5}+5y=8$$

將 -\frac{4y}{5} 加到 5y。

$$\frac{21}{5}y+\frac{12}{5}=8$$

從方程式兩邊減去 \frac{12}{5}。

$$\frac{21}{5}y=\frac{28}{5}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{21}{5}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{4}{3}$$

在 x=-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5} 中以 \frac{4}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{2}{5}\times \frac{4}{3}+\frac{6}{5}$$

-\frac{2}{5} 乘上 \frac{4}{3} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{8}{15}+\frac{6}{5}$$

將 \frac{6}{5} 與 -\frac{8}{15} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{2}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{2}{3},y=\frac{4}{3}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x+2y=6,2x+5y=8$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-2\times 2}&-\frac{2}{5\times 5-2\times 2}\\-\frac{2}{5\times 5-2\times 2}&\frac{5}{5\times 5-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&-\frac{2}{21}\\-\frac{2}{21}&\frac{5}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\times 6-\frac{2}{21}\times 8\\-\frac{2}{21}\times 6+\frac{5}{21}\times 8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{2}{3},y=\frac{4}{3}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x+2y=6,2x+5y=8$$

讓 5x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$2\times 5x+2\times 2y=2\times 6,5\times 2x+5\times 5y=5\times 8$$

化簡。

$$10x+4y=12,10x+25y=40$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 10x+4y=12 減去 10x+25y=40。

$$10x-10x+4y-25y=12-40$$

將 10x 加到 -10x。 10x 和 -10x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4y-25y=12-40$$

將 4y 加到 -25y。

$$-21y=12-40$$

將 12 加到 -40。

$$-21y=-28$$

將兩邊同時除以 -21。

$$y=\frac{4}{3}$$

在 2x+5y=8 中以 \frac{4}{3} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x+5\times \frac{4}{3}=8$$

5 乘上 \frac{4}{3}。

$$2x+\frac{20}{3}=8$$

從方程式兩邊減去 \frac{20}{3}。

$$2x=\frac{4}{3}$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{2}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{2}{3},y=\frac{4}{3}$$