解決{l}{5x+10y=-70}{-8x+30y=20} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 10 y = - 70 } \\ { - 8 x + 30 y = 20 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-10$$

$$y=-2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$5x+10y=-70$$

從方程式兩邊減去 10y。

$$5x=-10y-70$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{5}\left(-10y-70\right)$$

\frac{1}{5} 乘上 -10y-70。

$$x=-2y-14$$

在另一個方程式 -8x+30y=20 中以 -2y-14 代入 x在方程式。

$$-8\left(-2y-14\right)+30y=20$$

-8 乘上 -2y-14。

$$16y+112+30y=20$$

將 16y 加到 30y。

$$46y+112=20$$

從方程式兩邊減去 112。

$$46y=-92$$

將兩邊同時除以 46。

$$y=-2$$

在 x=-2y-14 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-2\left(-2\right)-14$$

-2 乘上 -2。

$$x=4-14$$

將 -14 加到 4。

$$x=-10$$

現已成功解出系統。

$$x=-10,y=-2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&10\\-8&30\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{30}{5\times 30-10\left(-8\right)}&-\frac{10}{5\times 30-10\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{5\times 30-10\left(-8\right)}&\frac{5}{5\times 30-10\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}&-\frac{1}{23}\\\frac{4}{115}&\frac{1}{46}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\20\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{23}\left(-70\right)-\frac{1}{23}\times 20\\\frac{4}{115}\left(-70\right)+\frac{1}{46}\times 20\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-10,y=-2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$5x+10y=-70,-8x+30y=20$$

讓 5x 和 -8x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -8，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 5。

$$-8\times 5x-8\times 10y=-8\left(-70\right),5\left(-8\right)x+5\times 30y=5\times 20$$

化簡。

$$-40x-80y=560,-40x+150y=100$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -40x-80y=560 減去 -40x+150y=100。

$$-40x+40x-80y-150y=560-100$$

將 -40x 加到 40x。 -40x 和 40x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-80y-150y=560-100$$

將 -80y 加到 -150y。

$$-230y=560-100$$

將 560 加到 -100。

$$-230y=460$$

將兩邊同時除以 -230。

$$y=-2$$

在 -8x+30y=20 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-8x+30\left(-2\right)=20$$

30 乘上 -2。

$$-8x-60=20$$

將 60 加到方程式的兩邊。

$$-8x=80$$

將兩邊同時除以 -8。

$$x=-10$$

現已成功解出系統。

$$x=-10,y=-2$$