\left\{ \begin{array} { l } { 5 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 2 } \\ { 2 ( x + y ) - 4 ( x - y ) = 6 } \end{array} \right.
解 x、y
x = -\frac{9}{7} = -1\frac{2}{7} \approx -1.285714286
y=\frac{4}{7}\approx 0.571428571
圖表
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5x+5y-3\left(x-y\right)=2
考慮第一個方程式。 計算 5 乘上 x+y 時使用乘法分配律。
5x+5y-3x+3y=2
計算 -3 乘上 x-y 時使用乘法分配律。
2x+5y+3y=2
合併 5x 和 -3x 以取得 2x。
2x+8y=2
合併 5y 和 3y 以取得 8y。
2x+2y-4\left(x-y\right)=6
考慮第二個方程式。 計算 2 乘上 x+y 時使用乘法分配律。
2x+2y-4x+4y=6
計算 -4 乘上 x-y 時使用乘法分配律。
-2x+2y+4y=6
合併 2x 和 -4x 以取得 -2x。
-2x+6y=6
合併 2y 和 4y 以取得 6y。
2x+8y=2,-2x+6y=6
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
2x+8y=2
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
2x=-8y+2
從方程式兩邊減去 8y。
x=\frac{1}{2}\left(-8y+2\right)
將兩邊同時除以 2。
x=-4y+1
\frac{1}{2} 乘上 -8y+2。
-2\left(-4y+1\right)+6y=6
在另一個方程式 -2x+6y=6 中以 -4y+1 代入 x在方程式。
8y-2+6y=6
-2 乘上 -4y+1。
14y-2=6
將 8y 加到 6y。
14y=8
將 2 加到方程式的兩邊。
y=\frac{4}{7}
將兩邊同時除以 14。
x=-4\times \frac{4}{7}+1
在 x=-4y+1 中以 \frac{4}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=-\frac{16}{7}+1
-4 乘上 \frac{4}{7}。
x=-\frac{9}{7}
將 1 加到 -\frac{16}{7}。
x=-\frac{9}{7},y=\frac{4}{7}
現已成功解出系統。
5x+5y-3\left(x-y\right)=2
考慮第一個方程式。 計算 5 乘上 x+y 時使用乘法分配律。
5x+5y-3x+3y=2
計算 -3 乘上 x-y 時使用乘法分配律。
2x+5y+3y=2
合併 5x 和 -3x 以取得 2x。
2x+8y=2
合併 5y 和 3y 以取得 8y。
2x+2y-4\left(x-y\right)=6
考慮第二個方程式。 計算 2 乘上 x+y 時使用乘法分配律。
2x+2y-4x+4y=6
計算 -4 乘上 x-y 時使用乘法分配律。
-2x+2y+4y=6
合併 2x 和 -4x 以取得 -2x。
-2x+6y=6
合併 2y 和 4y 以取得 6y。
2x+8y=2,-2x+6y=6
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}2&8\\-2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&8\\-2&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&8\\-2&6\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&8\\-2&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-8\left(-2\right)}&-\frac{8}{2\times 6-8\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 6-8\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 6-8\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}&-\frac{2}{7}\\\frac{1}{14}&\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}\times 2-\frac{2}{7}\times 6\\\frac{1}{14}\times 2+\frac{1}{14}\times 6\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{7}\\\frac{4}{7}\end{matrix}\right)
計算。
x=-\frac{9}{7},y=\frac{4}{7}
解出矩陣元素 x 和 y。
5x+5y-3\left(x-y\right)=2
考慮第一個方程式。 計算 5 乘上 x+y 時使用乘法分配律。
5x+5y-3x+3y=2
計算 -3 乘上 x-y 時使用乘法分配律。
2x+5y+3y=2
合併 5x 和 -3x 以取得 2x。
2x+8y=2
合併 5y 和 3y 以取得 8y。
2x+2y-4\left(x-y\right)=6
考慮第二個方程式。 計算 2 乘上 x+y 時使用乘法分配律。
2x+2y-4x+4y=6
計算 -4 乘上 x-y 時使用乘法分配律。
-2x+2y+4y=6
合併 2x 和 -4x 以取得 -2x。
-2x+6y=6
合併 2y 和 4y 以取得 6y。
2x+8y=2,-2x+6y=6
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
-2\times 2x-2\times 8y=-2\times 2,2\left(-2\right)x+2\times 6y=2\times 6
讓 2x 和 -2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。
-4x-16y=-4,-4x+12y=12
化簡。
-4x+4x-16y-12y=-4-12
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -4x-16y=-4 減去 -4x+12y=12。
-16y-12y=-4-12
將 -4x 加到 4x。 -4x 和 4x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
-28y=-4-12
將 -16y 加到 -12y。
-28y=-16
將 -4 加到 -12。
y=\frac{4}{7}
將兩邊同時除以 -28。
-2x+6\times \frac{4}{7}=6
在 -2x+6y=6 中以 \frac{4}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
-2x+\frac{24}{7}=6
6 乘上 \frac{4}{7}。
-2x=\frac{18}{7}
從方程式兩邊減去 \frac{24}{7}。
x=-\frac{9}{7}
將兩邊同時除以 -2。
x=-\frac{9}{7},y=\frac{4}{7}
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}