解決{l}{5=3k+b}{-9=-4k+b} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 = 3 k + b } \\ { - 9 = - 4 k + b } \end{array} \right.$$

解 k、b

$$k=2$$

$$b=-1$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$3k+b=5$$

考慮第二個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$-4k+b=-9$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3k+b=5,-4k+b=-9$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 k: 將 k 單獨置於等號的左邊。

$$3k+b=5$$

從方程式兩邊減去 b。

$$3k=-b+5$$

將兩邊同時除以 3。

$$k=\frac{1}{3}\left(-b+5\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -b+5。

$$k=-\frac{1}{3}b+\frac{5}{3}$$

在另一個方程式 -4k+b=-9 中以 \frac{-b+5}{3} 代入 k在方程式。

$$-4\left(-\frac{1}{3}b+\frac{5}{3}\right)+b=-9$$

-4 乘上 \frac{-b+5}{3}。

$$\frac{4}{3}b-\frac{20}{3}+b=-9$$

將 \frac{4b}{3} 加到 b。

$$\frac{7}{3}b-\frac{20}{3}=-9$$

將 \frac{20}{3} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{7}{3}b=-\frac{7}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{7}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$b=-1$$

在 k=-\frac{1}{3}b+\frac{5}{3} 中以 -1 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 k。

$$k=-\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{5}{3}$$

-\frac{1}{3} 乘上 -1。

$$k=\frac{1+5}{3}$$

將 \frac{5}{3} 與 \frac{1}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$k=2$$

現已成功解出系統。

$$k=2,b=-1$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$3k+b=5$$

考慮第二個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$-4k+b=-9$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3k+b=5,-4k+b=-9$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-4\right)}&-\frac{1}{3-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{3-\left(-4\right)}&\frac{3}{3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\\\frac{4}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 5-\frac{1}{7}\left(-9\right)\\\frac{4}{7}\times 5+\frac{3}{7}\left(-9\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 k 和 b。

$$k=2,b=-1$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$3k+b=5$$

考慮第二個方程式。 換邊，將所有變數項都置於左邊。

$$-4k+b=-9$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3k+b=5,-4k+b=-9$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3k+b=5 減去 -4k+b=-9。

$$3k+4k+b-b=5+9$$

將 b 加到 -b。 b 和 -b 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$3k+4k=5+9$$

將 3k 加到 4k。

$$7k=5+9$$

將 5 加到 9。

$$7k=14$$

將兩邊同時除以 7。

$$k=2$$

在 -4k+b=-9 中以 2 代入 k。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 b。

$$-4\times 2+b=-9$$

-4 乘上 2。

$$-8+b=-9$$

將 8 加到方程式的兩邊。

$$b=-1$$

現已成功解出系統。

$$k=2,b=-1$$