解決{l}{44=12k+b}{16=82k+b} |Microsoft數學求解器

解 k, b

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12k+b=44

考慮第一個方程式。換邊，將所有變數項都置於左邊。

82k+b=16

考慮第二個方程式。換邊，將所有變數項都置於左邊。

12k+b=44,82k+b=16

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

12k+b=44

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 k: 將 k 單獨置於等號的左邊。

12k=-b+44

從方程式兩邊減去 b。

k=\frac{1}{12}\left(-b+44\right)

將兩邊同時除以 12。

k=-\frac{1}{12}b+\frac{11}{3}

\frac{1}{12} 乘上 -b+44。

82\left(-\frac{1}{12}b+\frac{11}{3}\right)+b=16

在另一個方程式 82k+b=16 中以 -\frac{b}{12}+\frac{11}{3} 代入 k在方程式。

-\frac{41}{6}b+\frac{902}{3}+b=16

82 乘上 -\frac{b}{12}+\frac{11}{3}。

-\frac{35}{6}b+\frac{902}{3}=16

將 -\frac{41b}{6} 加到 b。

-\frac{35}{6}b=-\frac{854}{3}

從方程式兩邊減去 \frac{902}{3}。

b=\frac{244}{5}

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{35}{6}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

k=-\frac{1}{12}\times \frac{244}{5}+\frac{11}{3}

在 k=-\frac{1}{12}b+\frac{11}{3} 中以 \frac{244}{5} 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 k。

k=-\frac{61}{15}+\frac{11}{3}

-\frac{1}{12} 乘上 \frac{244}{5} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

k=-\frac{2}{5}

將 \frac{11}{3} 與 -\frac{61}{15} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

k=-\frac{2}{5},b=\frac{244}{5}

現已成功解出系統。

12k+b=44

考慮第一個方程式。換邊，將所有變數項都置於左邊。

82k+b=16

考慮第二個方程式。換邊，將所有變數項都置於左邊。

12k+b=44,82k+b=16

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12-82}&-\frac{1}{12-82}\\-\frac{82}{12-82}&\frac{12}{12-82}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{70}&\frac{1}{70}\\\frac{41}{35}&-\frac{6}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{70}\times 44+\frac{1}{70}\times 16\\\frac{41}{35}\times 44-\frac{6}{35}\times 16\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\\\frac{244}{5}\end{matrix}\right)

計算。

k=-\frac{2}{5},b=\frac{244}{5}

解出矩陣元素 k 和 b。

12k+b=44

考慮第一個方程式。換邊，將所有變數項都置於左邊。

82k+b=16

考慮第二個方程式。換邊，將所有變數項都置於左邊。

12k+b=44,82k+b=16

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

12k-82k+b-b=44-16