解決{l}{4x-y=10}{3x+2y=8} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - y = 10 } \\ { 3 x + 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x = \frac{28}{11} = 2\frac{6}{11} \approx 2.545454545$$

$$y=\frac{2}{11}\approx 0.181818182$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x-y=10,3x+2y=8$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x-y=10$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$4x=y+10$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(y+10\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 y+10。

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{2}$$

在另一個方程式 3x+2y=8 中以 \frac{y}{4}+\frac{5}{2} 代入 x在方程式。

$$3\left(\frac{1}{4}y+\frac{5}{2}\right)+2y=8$$

3 乘上 \frac{y}{4}+\frac{5}{2}。

$$\frac{3}{4}y+\frac{15}{2}+2y=8$$

將 \frac{3y}{4} 加到 2y。

$$\frac{11}{4}y+\frac{15}{2}=8$$

從方程式兩邊減去 \frac{15}{2}。

$$\frac{11}{4}y=\frac{1}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{11}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{2}{11}$$

在 x=\frac{1}{4}y+\frac{5}{2} 中以 \frac{2}{11} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{4}\times \frac{2}{11}+\frac{5}{2}$$

\frac{1}{4} 乘上 \frac{2}{11} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{1}{22}+\frac{5}{2}$$

將 \frac{5}{2} 與 \frac{1}{22} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{28}{11}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{28}{11},y=\frac{2}{11}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x-y=10,3x+2y=8$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4\times 2-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 10+\frac{1}{11}\times 8\\-\frac{3}{11}\times 10+\frac{4}{11}\times 8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{28}{11}\\\frac{2}{11}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{28}{11},y=\frac{2}{11}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x-y=10,3x+2y=8$$

讓 4x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$3\times 4x+3\left(-1\right)y=3\times 10,4\times 3x+4\times 2y=4\times 8$$

化簡。

$$12x-3y=30,12x+8y=32$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 12x-3y=30 減去 12x+8y=32。

$$12x-12x-3y-8y=30-32$$

將 12x 加到 -12x。 12x 和 -12x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-3y-8y=30-32$$

將 -3y 加到 -8y。

$$-11y=30-32$$

將 30 加到 -32。

$$-11y=-2$$

將兩邊同時除以 -11。

$$y=\frac{2}{11}$$

在 3x+2y=8 中以 \frac{2}{11} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x+2\times \frac{2}{11}=8$$

2 乘上 \frac{2}{11}。

$$3x+\frac{4}{11}=8$$

從方程式兩邊減去 \frac{4}{11}。

$$3x=\frac{84}{11}$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{28}{11}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{28}{11},y=\frac{2}{11}$$