解決{l}{4x-7y=-4}{7x+5y=-7} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 7 y = - 4 } \\ { 7 x + 5 y = - 7 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-1$$

$$y=0$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x-7y=-4,7x+5y=-7$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x-7y=-4$$

將 7y 加到方程式的兩邊。

$$4x=7y-4$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(7y-4\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 7y-4。

$$x=\frac{7}{4}y-1$$

在另一個方程式 7x+5y=-7 中以 \frac{7y}{4}-1 代入 x在方程式。

$$7\left(\frac{7}{4}y-1\right)+5y=-7$$

7 乘上 \frac{7y}{4}-1。

$$\frac{49}{4}y-7+5y=-7$$

將 \frac{49y}{4} 加到 5y。

$$\frac{69}{4}y-7=-7$$

將 7 加到方程式的兩邊。

$$\frac{69}{4}y=0$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{69}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=0$$

在 x=\frac{7}{4}y-1 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-1$$

現已成功解出系統。

$$x=-1,y=0$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x-7y=-4,7x+5y=-7$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-\left(-7\times 7\right)}&-\frac{-7}{4\times 5-\left(-7\times 7\right)}\\-\frac{7}{4\times 5-\left(-7\times 7\right)}&\frac{4}{4\times 5-\left(-7\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{69}&\frac{7}{69}\\-\frac{7}{69}&\frac{4}{69}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\-7\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{69}\left(-4\right)+\frac{7}{69}\left(-7\right)\\-\frac{7}{69}\left(-4\right)+\frac{4}{69}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\0\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-1,y=0$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x-7y=-4,7x+5y=-7$$

讓 4x 和 7x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 7，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$7\times 4x+7\left(-7\right)y=7\left(-4\right),4\times 7x+4\times 5y=4\left(-7\right)$$

化簡。

$$28x-49y=-28,28x+20y=-28$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 28x-49y=-28 減去 28x+20y=-28。

$$28x-28x-49y-20y=-28+28$$

將 28x 加到 -28x。 28x 和 -28x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-49y-20y=-28+28$$

將 -49y 加到 -20y。

$$-69y=-28+28$$

將 -28 加到 28。

$$-69y=0$$

將兩邊同時除以 -69。

$$y=0$$

在 7x+5y=-7 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$7x=-7$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=-1$$

現已成功解出系統。

$$x=-1,y=0$$