解決{l}{4x-5y=9}{7x-4y=15} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 5 y = 9 } \\ { 7 x - 4 y = 15 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x = \frac{39}{19} = 2\frac{1}{19} \approx 2.052631579$$

$$y=-\frac{3}{19}\approx -0.157894737$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x-5y=9,7x-4y=15$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x-5y=9$$

將 5y 加到方程式的兩邊。

$$4x=5y+9$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+9\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 5y+9。

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{9}{4}$$

在另一個方程式 7x-4y=15 中以 \frac{5y+9}{4} 代入 x在方程式。

$$7\left(\frac{5}{4}y+\frac{9}{4}\right)-4y=15$$

7 乘上 \frac{5y+9}{4}。

$$\frac{35}{4}y+\frac{63}{4}-4y=15$$

將 \frac{35y}{4} 加到 -4y。

$$\frac{19}{4}y+\frac{63}{4}=15$$

從方程式兩邊減去 \frac{63}{4}。

$$\frac{19}{4}y=-\frac{3}{4}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{19}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{3}{19}$$

在 x=\frac{5}{4}y+\frac{9}{4} 中以 -\frac{3}{19} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{5}{4}\left(-\frac{3}{19}\right)+\frac{9}{4}$$

\frac{5}{4} 乘上 -\frac{3}{19} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{15}{76}+\frac{9}{4}$$

將 \frac{9}{4} 與 -\frac{15}{76} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{39}{19}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{39}{19},y=-\frac{3}{19}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x-5y=9,7x-4y=15$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\7&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}&-\frac{-5}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}\\-\frac{7}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-5\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{19}&\frac{5}{19}\\-\frac{7}{19}&\frac{4}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\15\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{19}\times 9+\frac{5}{19}\times 15\\-\frac{7}{19}\times 9+\frac{4}{19}\times 15\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{39}{19}\\-\frac{3}{19}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{39}{19},y=-\frac{3}{19}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x-5y=9,7x-4y=15$$

讓 4x 和 7x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 7，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$7\times 4x+7\left(-5\right)y=7\times 9,4\times 7x+4\left(-4\right)y=4\times 15$$

化簡。

$$28x-35y=63,28x-16y=60$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 28x-35y=63 減去 28x-16y=60。

$$28x-28x-35y+16y=63-60$$

將 28x 加到 -28x。 28x 和 -28x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-35y+16y=63-60$$

將 -35y 加到 16y。

$$-19y=63-60$$

將 63 加到 -60。

$$-19y=3$$

將兩邊同時除以 -19。

$$y=-\frac{3}{19}$$

在 7x-4y=15 中以 -\frac{3}{19} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$7x-4\left(-\frac{3}{19}\right)=15$$

-4 乘上 -\frac{3}{19}。

$$7x+\frac{12}{19}=15$$

從方程式兩邊減去 \frac{12}{19}。

$$7x=\frac{273}{19}$$

將兩邊同時除以 7。

$$x=\frac{39}{19}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{39}{19},y=-\frac{3}{19}$$