解決{l}{4x-5y=7}{2x+3y=1} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 5 y = 7 } \\ { 2 x + 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x = \frac{13}{11} = 1\frac{2}{11} \approx 1.181818182$$

$$y=-\frac{5}{11}\approx -0.454545455$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x-5y=7,2x+3y=1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x-5y=7$$

將 5y 加到方程式的兩邊。

$$4x=5y+7$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+7\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 5y+7。

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}$$

在另一個方程式 2x+3y=1 中以 \frac{5y+7}{4} 代入 x在方程式。

$$2\left(\frac{5}{4}y+\frac{7}{4}\right)+3y=1$$

2 乘上 \frac{5y+7}{4}。

$$\frac{5}{2}y+\frac{7}{2}+3y=1$$

將 \frac{5y}{2} 加到 3y。

$$\frac{11}{2}y+\frac{7}{2}=1$$

從方程式兩邊減去 \frac{7}{2}。

$$\frac{11}{2}y=-\frac{5}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{11}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{5}{11}$$

在 x=\frac{5}{4}y+\frac{7}{4} 中以 -\frac{5}{11} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{5}{4}\left(-\frac{5}{11}\right)+\frac{7}{4}$$

\frac{5}{4} 乘上 -\frac{5}{11} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{25}{44}+\frac{7}{4}$$

將 \frac{7}{4} 與 -\frac{25}{44} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{13}{11}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x-5y=7,2x+3y=1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&\frac{5}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 7+\frac{5}{22}\\-\frac{1}{11}\times 7+\frac{2}{11}\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{11}\\-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x-5y=7,2x+3y=1$$

讓 4x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$2\times 4x+2\left(-5\right)y=2\times 7,4\times 2x+4\times 3y=4$$

化簡。

$$8x-10y=14,8x+12y=4$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 8x-10y=14 減去 8x+12y=4。

$$8x-8x-10y-12y=14-4$$

將 8x 加到 -8x。 8x 和 -8x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-10y-12y=14-4$$

將 -10y 加到 -12y。

$$-22y=14-4$$

將 14 加到 -4。

$$-22y=10$$

將兩邊同時除以 -22。

$$y=-\frac{5}{11}$$

在 2x+3y=1 中以 -\frac{5}{11} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x+3\left(-\frac{5}{11}\right)=1$$

3 乘上 -\frac{5}{11}。

$$2x-\frac{15}{11}=1$$

將 \frac{15}{11} 加到方程式的兩邊。

$$2x=\frac{26}{11}$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{13}{11}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{13}{11},y=-\frac{5}{11}$$