解決{l}{4x-2y=8}{2x+y=2} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 2 y = 8 } \\ { 2 x + y = 2 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=-1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x-2y=8,2x+y=2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x-2y=8$$

將 2y 加到方程式的兩邊。

$$4x=2y+8$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+8\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 8+2y。

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

在另一個方程式 2x+y=2 中以 \frac{y}{2}+2 代入 x在方程式。

$$2\left(\frac{1}{2}y+2\right)+y=2$$

2 乘上 \frac{y}{2}+2。

$$y+4+y=2$$

將 y 加到 y。

$$2y+4=2$$

從方程式兩邊減去 4。

$$2y=-2$$

將兩邊同時除以 2。

$$y=-1$$

在 x=\frac{1}{2}y+2 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{2}\left(-1\right)+2$$

\frac{1}{2} 乘上 -1。

$$x=-\frac{1}{2}+2$$

將 2 加到 -\frac{1}{2}。

$$x=\frac{3}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x-2y=8,2x+y=2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-2\times 2\right)}&-\frac{-2}{4-\left(-2\times 2\right)}\\-\frac{2}{4-\left(-2\times 2\right)}&\frac{4}{4-\left(-2\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 8+\frac{1}{4}\times 2\\-\frac{1}{4}\times 8+\frac{1}{2}\times 2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x-2y=8,2x+y=2$$

讓 4x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$2\times 4x+2\left(-2\right)y=2\times 8,4\times 2x+4y=4\times 2$$

化簡。

$$8x-4y=16,8x+4y=8$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 8x-4y=16 減去 8x+4y=8。

$$8x-8x-4y-4y=16-8$$

將 8x 加到 -8x。 8x 和 -8x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-4y-4y=16-8$$

將 -4y 加到 -4y。

$$-8y=16-8$$

將 16 加到 -8。

$$-8y=8$$

將兩邊同時除以 -8。

$$y=-1$$

在 2x+y=2 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x-1=2$$

將 1 加到方程式的兩邊。

$$2x=3$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{3}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{3}{2},y=-1$$