解決{l}{4x=4y+8}{3x=4y} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x = 4 y + 8 } \\ { 3 x = 4 y } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=8$$

$$y=6$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 4y。

$$4x-4y=8$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 4y。

$$3x-4y=0$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x-4y=8,3x-4y=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x-4y=8$$

將 4y 加到方程式的兩邊。

$$4x=4y+8$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(4y+8\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 8+4y。

$$x=y+2$$

在另一個方程式 3x-4y=0 中以 y+2 代入 x在方程式。

$$3\left(y+2\right)-4y=0$$

3 乘上 y+2。

$$3y+6-4y=0$$

將 3y 加到 -4y。

$$-y+6=0$$

從方程式兩邊減去 6。

$$-y=-6$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=6$$

在 x=y+2 中以 6 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=6+2$$

將 2 加到 6。

$$x=8$$

現已成功解出系統。

$$x=8,y=6$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 4y。

$$4x-4y=8$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 4y。

$$3x-4y=0$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x-4y=8,3x-4y=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&-4\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&-4\\3&-4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-4\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-4\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{4\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{4\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}&\frac{4}{4\left(-4\right)-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\\frac{3}{4}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\\frac{3}{4}\times 8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=8,y=6$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 4y。

$$4x-4y=8$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 4y。

$$3x-4y=0$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x-4y=8,3x-4y=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 4x-4y=8 減去 3x-4y=0。

$$4x-3x-4y+4y=8$$

將 -4y 加到 4y。 -4y 和 4y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4x-3x=8$$

將 4x 加到 -3x。

$$x=8$$

在 3x-4y=0 中以 8 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$3\times 8-4y=0$$

3 乘上 8。

$$24-4y=0$$

從方程式兩邊減去 24。

$$-4y=-24$$

將兩邊同時除以 -4。

$$y=6$$

現已成功解出系統。

$$x=8,y=6$$