解決{l}{4x+y=9}{2x+y=7} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + y = 9 } \\ { 2 x + y = 7 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=1$$

$$y=5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x+y=9,2x+y=7$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x+y=9$$

從方程式兩邊減去 y。

$$4x=-y+9$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+9\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 -y+9。

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{9}{4}$$

在另一個方程式 2x+y=7 中以 \frac{-y+9}{4} 代入 x在方程式。

$$2\left(-\frac{1}{4}y+\frac{9}{4}\right)+y=7$$

2 乘上 \frac{-y+9}{4}。

$$-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}+y=7$$

將 -\frac{y}{2} 加到 y。

$$\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}=7$$

從方程式兩邊減去 \frac{9}{2}。

$$\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}$$

將兩邊同時乘上 2。

$$y=5$$

在 x=-\frac{1}{4}y+\frac{9}{4} 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{4}\times 5+\frac{9}{4}$$

-\frac{1}{4} 乘上 5。

$$x=\frac{-5+9}{4}$$

將 \frac{9}{4} 與 -\frac{5}{4} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=5$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x+y=9,2x+y=7$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-2}&-\frac{1}{4-2}\\-\frac{2}{4-2}&\frac{4}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 9-\frac{1}{2}\times 7\\-9+2\times 7\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=5$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x+y=9,2x+y=7$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 4x+y=9 減去 2x+y=7。

$$4x-2x+y-y=9-7$$

將 y 加到 -y。 y 和 -y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4x-2x=9-7$$

將 4x 加到 -2x。

$$2x=9-7$$

將 9 加到 -7。

$$2x=2$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=1$$

在 2x+y=7 中以 1 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$2+y=7$$

從方程式兩邊減去 2。

$$y=5$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=5$$