解決{l}{4x+y=5}{2x-y=-2} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + y = 5 } \\ { 2 x - y = - 2 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=3$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x+y=5,2x-y=-2$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x+y=5$$

從方程式兩邊減去 y。

$$4x=-y+5$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+5\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 -y+5。

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}$$

在另一個方程式 2x-y=-2 中以 \frac{-y+5}{4} 代入 x在方程式。

$$2\left(-\frac{1}{4}y+\frac{5}{4}\right)-y=-2$$

2 乘上 \frac{-y+5}{4}。

$$-\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}-y=-2$$

將 -\frac{y}{2} 加到 -y。

$$-\frac{3}{2}y+\frac{5}{2}=-2$$

從方程式兩邊減去 \frac{5}{2}。

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{9}{2}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{3}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=3$$

在 x=-\frac{1}{4}y+\frac{5}{4} 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{4}\times 3+\frac{5}{4}$$

-\frac{1}{4} 乘上 3。

$$x=\frac{-3+5}{4}$$

將 \frac{5}{4} 與 -\frac{3}{4} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{1}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1}{2},y=3$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x+y=5,2x-y=-2$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-2}&-\frac{1}{4\left(-1\right)-2}\\-\frac{2}{4\left(-1\right)-2}&\frac{4}{4\left(-1\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 5+\frac{1}{6}\left(-2\right)\\\frac{1}{3}\times 5-\frac{2}{3}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{1}{2},y=3$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x+y=5,2x-y=-2$$

讓 4x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$2\times 4x+2y=2\times 5,4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\left(-2\right)$$

化簡。

$$8x+2y=10,8x-4y=-8$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 8x+2y=10 減去 8x-4y=-8。

$$8x-8x+2y+4y=10+8$$

將 8x 加到 -8x。 8x 和 -8x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2y+4y=10+8$$

將 2y 加到 4y。

$$6y=10+8$$

將 10 加到 8。

$$6y=18$$

將兩邊同時除以 6。

$$y=3$$

在 2x-y=-2 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x-3=-2$$

將 3 加到方程式的兩邊。

$$2x=1$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1}{2},y=3$$