解決{l}{4x+y=3}{3x-3y=-1} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + y = 3 } \\ { 3 x - 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{8}{15}\approx 0.533333333$$

$$y=\frac{13}{15}\approx 0.866666667$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x+y=3,3x-3y=-1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x+y=3$$

從方程式兩邊減去 y。

$$4x=-y+3$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+3\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 -y+3。

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}$$

在另一個方程式 3x-3y=-1 中以 \frac{-y+3}{4} 代入 x在方程式。

$$3\left(-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4}\right)-3y=-1$$

3 乘上 \frac{-y+3}{4}。

$$-\frac{3}{4}y+\frac{9}{4}-3y=-1$$

將 -\frac{3y}{4} 加到 -3y。

$$-\frac{15}{4}y+\frac{9}{4}=-1$$

從方程式兩邊減去 \frac{9}{4}。

$$-\frac{15}{4}y=-\frac{13}{4}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{15}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{13}{15}$$

在 x=-\frac{1}{4}y+\frac{3}{4} 中以 \frac{13}{15} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{13}{15}+\frac{3}{4}$$

-\frac{1}{4} 乘上 \frac{13}{15} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{13}{60}+\frac{3}{4}$$

將 \frac{3}{4} 與 -\frac{13}{60} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{8}{15}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{8}{15},y=\frac{13}{15}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x+y=3,3x-3y=-1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4\left(-3\right)-3}&-\frac{1}{4\left(-3\right)-3}\\-\frac{3}{4\left(-3\right)-3}&\frac{4}{4\left(-3\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{15}\\\frac{1}{5}&-\frac{4}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 3+\frac{1}{15}\left(-1\right)\\\frac{1}{5}\times 3-\frac{4}{15}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{15}\\\frac{13}{15}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{8}{15},y=\frac{13}{15}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x+y=3,3x-3y=-1$$

讓 4x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$3\times 4x+3y=3\times 3,4\times 3x+4\left(-3\right)y=4\left(-1\right)$$

化簡。

$$12x+3y=9,12x-12y=-4$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 12x+3y=9 減去 12x-12y=-4。

$$12x-12x+3y+12y=9+4$$

將 12x 加到 -12x。 12x 和 -12x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$3y+12y=9+4$$

將 3y 加到 12y。

$$15y=9+4$$

將 9 加到 4。

$$15y=13$$

將兩邊同時除以 15。

$$y=\frac{13}{15}$$

在 3x-3y=-1 中以 \frac{13}{15} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x-3\times \frac{13}{15}=-1$$

-3 乘上 \frac{13}{15}。

$$3x-\frac{13}{5}=-1$$

將 \frac{13}{5} 加到方程式的兩邊。

$$3x=\frac{8}{5}$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{8}{15}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{8}{15},y=\frac{13}{15}$$