解決{l}{4x+y=-5}{3x-2y=-14} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + y = - 5 } \\ { 3 x - 2 y = - 14 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = -\frac{24}{11} = -2\frac{2}{11} \approx -2.181818182$$

$$y = \frac{41}{11} = 3\frac{8}{11} \approx 3.727272727$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x+y=-5,3x-2y=-14$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x+y=-5$$

從方程式兩邊減去 y。

$$4x=-y-5$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(-y-5\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 -y-5。

$$x=-\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}$$

在另一個方程式 3x-2y=-14 中以 \frac{-y-5}{4} 代入 x在方程式。

$$3\left(-\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}\right)-2y=-14$$

3 乘上 \frac{-y-5}{4}。

$$-\frac{3}{4}y-\frac{15}{4}-2y=-14$$

將 -\frac{3y}{4} 加到 -2y。

$$-\frac{11}{4}y-\frac{15}{4}=-14$$

將 \frac{15}{4} 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{11}{4}y=-\frac{41}{4}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{11}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{41}{11}$$

在 x=-\frac{1}{4}y-\frac{5}{4} 中以 \frac{41}{11} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{4}\times \frac{41}{11}-\frac{5}{4}$$

-\frac{1}{4} 乘上 \frac{41}{11} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{41}{44}-\frac{5}{4}$$

將 -\frac{5}{4} 與 -\frac{41}{44} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-\frac{24}{11}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{24}{11},y=\frac{41}{11}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x+y=-5,3x-2y=-14$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-3}&-\frac{1}{4\left(-2\right)-3}\\-\frac{3}{4\left(-2\right)-3}&\frac{4}{4\left(-2\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{3}{11}&-\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-14\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\left(-5\right)+\frac{1}{11}\left(-14\right)\\\frac{3}{11}\left(-5\right)-\frac{4}{11}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{24}{11}\\\frac{41}{11}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{24}{11},y=\frac{41}{11}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x+y=-5,3x-2y=-14$$

讓 4x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$3\times 4x+3y=3\left(-5\right),4\times 3x+4\left(-2\right)y=4\left(-14\right)$$

化簡。

$$12x+3y=-15,12x-8y=-56$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 12x+3y=-15 減去 12x-8y=-56。

$$12x-12x+3y+8y=-15+56$$

將 12x 加到 -12x。 12x 和 -12x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$3y+8y=-15+56$$

將 3y 加到 8y。

$$11y=-15+56$$

將 -15 加到 56。

$$11y=41$$

將兩邊同時除以 11。

$$y=\frac{41}{11}$$

在 3x-2y=-14 中以 \frac{41}{11} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x-2\times \frac{41}{11}=-14$$

-2 乘上 \frac{41}{11}。

$$3x-\frac{82}{11}=-14$$

將 \frac{82}{11} 加到方程式的兩邊。

$$3x=-\frac{72}{11}$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=-\frac{24}{11}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{24}{11},y=\frac{41}{11}$$