解決{l}{4x+3y=12.5}{3x+3y=10.5} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 12.5 } \\ { 3 x + 3 y = 10.5 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=2$$

$$y=1.5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x+3y=12.5,3x+3y=10.5$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x+3y=12.5$$

從方程式兩邊減去 3y。

$$4x=-3y+12.5$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+12.5\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 -3y+12.5。

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{8}$$

在另一個方程式 3x+3y=10.5 中以 -\frac{3y}{4}+\frac{25}{8} 代入 x在方程式。

$$3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{25}{8}\right)+3y=10.5$$

3 乘上 -\frac{3y}{4}+\frac{25}{8}。

$$-\frac{9}{4}y+\frac{75}{8}+3y=10.5$$

將 -\frac{9y}{4} 加到 3y。

$$\frac{3}{4}y+\frac{75}{8}=10.5$$

從方程式兩邊減去 \frac{75}{8}。

$$\frac{3}{4}y=\frac{9}{8}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{3}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{3}{2}$$

在 x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{8} 中以 \frac{3}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{3}{4}\times \frac{3}{2}+\frac{25}{8}$$

-\frac{3}{4} 乘上 \frac{3}{2} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{-9+25}{8}$$

將 \frac{25}{8} 與 -\frac{9}{8} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=\frac{3}{2}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x+3y=12.5,3x+3y=10.5$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-3\times 3}&-\frac{3}{4\times 3-3\times 3}\\-\frac{3}{4\times 3-3\times 3}&\frac{4}{4\times 3-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12.5\\10.5\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12.5-10.5\\-12.5+\frac{4}{3}\times 10.5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1.5\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=2,y=1.5$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x+3y=12.5,3x+3y=10.5$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 4x+3y=12.5 減去 3x+3y=10.5。

$$4x-3x+3y-3y=\frac{25-21}{2}$$

將 3y 加到 -3y。 3y 和 -3y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$4x-3x=\frac{25-21}{2}$$

將 4x 加到 -3x。

$$x=\frac{25-21}{2}$$

將 12.5 與 -10.5 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=2$$

在 3x+3y=10.5 中以 2 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$3\times 2+3y=10.5$$

3 乘上 2。

$$6+3y=10.5$$

從方程式兩邊減去 6。

$$3y=4.5$$

將兩邊同時除以 3。

$$y=1.5$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=1.5$$