\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = - 7 } \\ { 3 x - 5 y = 2 } \end{array} \right.
解 x、y
x=-1
y=-1
圖表
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4x+3y=-7,3x-5y=2
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
4x+3y=-7
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
4x=-3y-7
從方程式兩邊減去 3y。
x=\frac{1}{4}\left(-3y-7\right)
將兩邊同時除以 4。
x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}
\frac{1}{4} 乘上 -3y-7。
3\left(-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4}\right)-5y=2
在另一個方程式 3x-5y=2 中以 \frac{-3y-7}{4} 代入 x在方程式。
-\frac{9}{4}y-\frac{21}{4}-5y=2
3 乘上 \frac{-3y-7}{4}。
-\frac{29}{4}y-\frac{21}{4}=2
將 -\frac{9y}{4} 加到 -5y。
-\frac{29}{4}y=\frac{29}{4}
將 \frac{21}{4} 加到方程式的兩邊。
y=-1
對方程式的兩邊同時除以 -\frac{29}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=-\frac{3}{4}\left(-1\right)-\frac{7}{4}
在 x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{4} 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=\frac{3-7}{4}
-\frac{3}{4} 乘上 -1。
x=-1
將 -\frac{7}{4} 與 \frac{3}{4} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=-1,y=-1
現已成功解出系統。
4x+3y=-7,3x-5y=2
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\3&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{4\left(-5\right)-3\times 3}&-\frac{3}{4\left(-5\right)-3\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-5\right)-3\times 3}&\frac{4}{4\left(-5\right)-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}&\frac{3}{29}\\\frac{3}{29}&-\frac{4}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}\left(-7\right)+\frac{3}{29}\times 2\\\frac{3}{29}\left(-7\right)-\frac{4}{29}\times 2\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)
計算。
x=-1,y=-1
解出矩陣元素 x 和 y。
4x+3y=-7,3x-5y=2
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
3\times 4x+3\times 3y=3\left(-7\right),4\times 3x+4\left(-5\right)y=4\times 2
讓 4x 和 3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。
12x+9y=-21,12x-20y=8
化簡。
12x-12x+9y+20y=-21-8
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 12x+9y=-21 減去 12x-20y=8。
9y+20y=-21-8
將 12x 加到 -12x。 12x 和 -12x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
29y=-21-8
將 9y 加到 20y。
29y=-29
將 -21 加到 -8。
y=-1
將兩邊同時除以 29。
3x-5\left(-1\right)=2
在 3x-5y=2 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
3x+5=2
-5 乘上 -1。
3x=-3
從方程式兩邊減去 5。
x=-1
將兩邊同時除以 3。
x=-1,y=-1
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}