\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y + 14 = 0 } \\ { 2 x + 5 y + 16 = 0 } \end{array} \right.
解 x、y
x = -\frac{11}{7} = -1\frac{4}{7} \approx -1.571428571
y = -\frac{18}{7} = -2\frac{4}{7} \approx -2.571428571
圖表
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4x+3y+14=0,2x+5y+16=0
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
4x+3y+14=0
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
4x+3y=-14
從方程式兩邊減去 14。
4x=-3y-14
從方程式兩邊減去 3y。
x=\frac{1}{4}\left(-3y-14\right)
將兩邊同時除以 4。
x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{2}
\frac{1}{4} 乘上 -3y-14。
2\left(-\frac{3}{4}y-\frac{7}{2}\right)+5y+16=0
在另一個方程式 2x+5y+16=0 中以 -\frac{3y}{4}-\frac{7}{2} 代入 x在方程式。
-\frac{3}{2}y-7+5y+16=0
2 乘上 -\frac{3y}{4}-\frac{7}{2}。
\frac{7}{2}y-7+16=0
將 -\frac{3y}{2} 加到 5y。
\frac{7}{2}y+9=0
將 -7 加到 16。
\frac{7}{2}y=-9
從方程式兩邊減去 9。
y=-\frac{18}{7}
對方程式的兩邊同時除以 \frac{7}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=-\frac{3}{4}\left(-\frac{18}{7}\right)-\frac{7}{2}
在 x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{2} 中以 -\frac{18}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=\frac{27}{14}-\frac{7}{2}
-\frac{3}{4} 乘上 -\frac{18}{7} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。
x=-\frac{11}{7}
將 -\frac{7}{2} 與 \frac{27}{14} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=-\frac{11}{7},y=-\frac{18}{7}
現已成功解出系統。
4x+3y+14=0,2x+5y+16=0
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 2}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 2}\\-\frac{2}{4\times 5-3\times 2}&\frac{4}{4\times 5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}&-\frac{3}{14}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}\left(-14\right)-\frac{3}{14}\left(-16\right)\\-\frac{1}{7}\left(-14\right)+\frac{2}{7}\left(-16\right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{7}\\-\frac{18}{7}\end{matrix}\right)
計算。
x=-\frac{11}{7},y=-\frac{18}{7}
解出矩陣元素 x 和 y。
4x+3y+14=0,2x+5y+16=0
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
2\times 4x+2\times 3y+2\times 14=0,4\times 2x+4\times 5y+4\times 16=0
讓 4x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。
8x+6y+28=0,8x+20y+64=0
化簡。
8x-8x+6y-20y+28-64=0
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 8x+6y+28=0 減去 8x+20y+64=0。
6y-20y+28-64=0
將 8x 加到 -8x。 8x 和 -8x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
-14y+28-64=0
將 6y 加到 -20y。
-14y-36=0
將 28 加到 -64。
-14y=36
將 36 加到方程式的兩邊。
y=-\frac{18}{7}
將兩邊同時除以 -14。
2x+5\left(-\frac{18}{7}\right)+16=0
在 2x+5y+16=0 中以 -\frac{18}{7} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
2x-\frac{90}{7}+16=0
5 乘上 -\frac{18}{7}。
2x+\frac{22}{7}=0
將 -\frac{90}{7} 加到 16。
2x=-\frac{22}{7}
從方程式兩邊減去 \frac{22}{7}。
x=-\frac{11}{7}
將兩邊同時除以 2。
x=-\frac{11}{7},y=-\frac{18}{7}
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}