解決{l}{4x+2y=25,2}{5y+x=32} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 25,2 } \\ { 5 y + x = 32 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{31}{9} = 3\frac{4}{9} \approx 3.444444444$$

$$y = \frac{257}{45} = 5\frac{32}{45} \approx 5.711111111$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4x+2y=25.2,x+5y=32$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$4x+2y=25.2$$

從方程式兩邊減去 2y。

$$4x=-2y+25.2$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+25.2\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 -2y+25.2。

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}$$

在另一個方程式 x+5y=32 中以 -\frac{y}{2}+\frac{63}{10} 代入 x在方程式。

$$-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}+5y=32$$

將 -\frac{y}{2} 加到 5y。

$$\frac{9}{2}y+\frac{63}{10}=32$$

從方程式兩邊減去 \frac{63}{10}。

$$\frac{9}{2}y=\frac{257}{10}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{9}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{257}{45}$$

在 x=-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10} 中以 \frac{257}{45} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{257}{45}+\frac{63}{10}$$

-\frac{1}{2} 乘上 \frac{257}{45} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{257}{90}+\frac{63}{10}$$

將 \frac{63}{10} 與 -\frac{257}{90} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{31}{9}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{31}{9},y=\frac{257}{45}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4x+2y=25.2,x+5y=32$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-2}&-\frac{2}{4\times 5-2}\\-\frac{1}{4\times 5-2}&\frac{4}{4\times 5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{18}&-\frac{1}{9}\\-\frac{1}{18}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{18}\times 25.2-\frac{1}{9}\times 32\\-\frac{1}{18}\times 25.2+\frac{2}{9}\times 32\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{31}{9}\\\frac{257}{45}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{31}{9},y=\frac{257}{45}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4x+2y=25.2,x+5y=32$$

讓 4x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$4x+2y=25.2,4x+4\times 5y=4\times 32$$

化簡。

$$4x+2y=25.2,4x+20y=128$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 4x+2y=25.2 減去 4x+20y=128。

$$4x-4x+2y-20y=25.2-128$$

將 4x 加到 -4x。 4x 和 -4x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$2y-20y=25.2-128$$

將 2y 加到 -20y。

$$-18y=25.2-128$$

將 25.2 加到 -128。

$$-18y=-102.8$$

將兩邊同時除以 -18。

$$y=\frac{257}{45}$$

在 x+5y=32 中以 \frac{257}{45} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x+5\times \frac{257}{45}=32$$

5 乘上 \frac{257}{45}。

$$x+\frac{257}{9}=32$$

從方程式兩邊減去 \frac{257}{9}。

$$x=\frac{31}{9}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{31}{9},y=\frac{257}{45}$$