解決{l}{4m+9n=-35}{3m-8n=18} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 m + 9 n = - 35 } \\ { 3 m - 8 n = 18 } \end{array} \right.$$

解 m、n

$$m=-2$$

$$n=-3$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 m: 將 m 單獨置於等號的左邊。

$$4m+9n=-35$$

從方程式兩邊減去 9n。

$$4m=-9n-35$$

將兩邊同時除以 4。

$$m=\frac{1}{4}\left(-9n-35\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 -9n-35。

$$m=-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}$$

在另一個方程式 3m-8n=18 中以 \frac{-9n-35}{4} 代入 m在方程式。

$$3\left(-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4}\right)-8n=18$$

3 乘上 \frac{-9n-35}{4}。

$$-\frac{27}{4}n-\frac{105}{4}-8n=18$$

將 -\frac{27n}{4} 加到 -8n。

$$-\frac{59}{4}n-\frac{105}{4}=18$$

將 \frac{105}{4} 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{59}{4}n=\frac{177}{4}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{59}{4}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$n=-3$$

在 m=-\frac{9}{4}n-\frac{35}{4} 中以 -3 代入 n。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 m。

$$m=-\frac{9}{4}\left(-3\right)-\frac{35}{4}$$

-\frac{9}{4} 乘上 -3。

$$m=\frac{27-35}{4}$$

將 -\frac{35}{4} 與 \frac{27}{4} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$m=-2$$

現已成功解出系統。

$$m=-2,n=-3$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\3&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{4\left(-8\right)-9\times 3}&-\frac{9}{4\left(-8\right)-9\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-8\right)-9\times 3}&\frac{4}{4\left(-8\right)-9\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{59}&\frac{9}{59}\\\frac{3}{59}&-\frac{4}{59}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-35\\18\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{59}\left(-35\right)+\frac{9}{59}\times 18\\\frac{3}{59}\left(-35\right)-\frac{4}{59}\times 18\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 m 和 n。

$$m=-2,n=-3$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4m+9n=-35,3m-8n=18$$

讓 4m 和 3m 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 4。

$$3\times 4m+3\times 9n=3\left(-35\right),4\times 3m+4\left(-8\right)n=4\times 18$$

化簡。

$$12m+27n=-105,12m-32n=72$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 12m+27n=-105 減去 12m-32n=72。

$$12m-12m+27n+32n=-105-72$$

將 12m 加到 -12m。 12m 和 -12m 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$27n+32n=-105-72$$

將 27n 加到 32n。

$$59n=-105-72$$

將 -105 加到 -72。

$$59n=-177$$

將兩邊同時除以 59。

$$n=-3$$

在 3m-8n=18 中以 -3 代入 n。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 m。

$$3m-8\left(-3\right)=18$$

-8 乘上 -3。

$$3m+24=18$$

從方程式兩邊減去 24。

$$3m=-6$$

將兩邊同時除以 3。

$$m=-2$$

現已成功解出系統。

$$m=-2,n=-3$$