解決{l}{4a-2b=14}{4a+2b=10} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 a - 2 b = 14 } \\ { 4 a + 2 b = 10 } \end{array} \right.$$

解 a、b

$$a=3$$

$$b=-1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$4a-2b=14,4a+2b=10$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 a: 將 a 單獨置於等號的左邊。

$$4a-2b=14$$

將 2b 加到方程式的兩邊。

$$4a=2b+14$$

將兩邊同時除以 4。

$$a=\frac{1}{4}\left(2b+14\right)$$

\frac{1}{4} 乘上 14+2b。

$$a=\frac{1}{2}b+\frac{7}{2}$$

在另一個方程式 4a+2b=10 中以 \frac{7+b}{2} 代入 a在方程式。

$$4\left(\frac{1}{2}b+\frac{7}{2}\right)+2b=10$$

4 乘上 \frac{7+b}{2}。

$$2b+14+2b=10$$

將 2b 加到 2b。

$$4b+14=10$$

從方程式兩邊減去 14。

$$4b=-4$$

將兩邊同時除以 4。

$$b=-1$$

在 a=\frac{1}{2}b+\frac{7}{2} 中以 -1 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$a=\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{7}{2}$$

\frac{1}{2} 乘上 -1。

$$a=\frac{-1+7}{2}$$

將 \frac{7}{2} 與 -\frac{1}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$a=3$$

現已成功解出系統。

$$a=3,b=-1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$4a-2b=14,4a+2b=10$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}4&-2\\4&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-2\times 4\right)}&-\frac{-2}{4\times 2-\left(-2\times 4\right)}\\-\frac{4}{4\times 2-\left(-2\times 4\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-2\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 14+\frac{1}{8}\times 10\\-\frac{1}{4}\times 14+\frac{1}{4}\times 10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 a 和 b。

$$a=3,b=-1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$4a-2b=14,4a+2b=10$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 4a-2b=14 減去 4a+2b=10。

$$4a-4a-2b-2b=14-10$$

將 4a 加到 -4a。 4a 和 -4a 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-2b-2b=14-10$$

將 -2b 加到 -2b。

$$-4b=14-10$$

將 14 加到 -10。

$$-4b=4$$

將兩邊同時除以 -4。

$$b=-1$$

在 4a+2b=10 中以 -1 代入 b。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 a。

$$4a+2\left(-1\right)=10$$

2 乘上 -1。

$$4a-2=10$$

將 2 加到方程式的兩邊。

$$4a=12$$

將兩邊同時除以 4。

$$a=3$$

現已成功解出系統。

$$a=3,b=-1$$