解決{l}{4(2x-y)-7(2y+x)=-36}{-2(x+2)-7y=-18} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 ( 2 x - y ) - 7 ( 2 y + x ) = - 36 } \\ { - 2 ( x + 2 ) - 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=0$$

$$y=2$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 計算 4 乘上 2x-y 時使用乘法分配律。

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

計算 -7 乘上 2y+x 時使用乘法分配律。

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

合併 -4y 和 -14y 以取得 -18y。

$$8x-18y-7x=-36$$

合併 8x 和 -7x 以取得 x。

$$x-18y=-36$$

考慮第二個方程式。 計算 -2 乘上 x+2 時使用乘法分配律。

$$-2x-4-7y=-18$$

新增 4 至兩側。

$$-2x-7y=-18+4$$

將 -18 與 4 相加可以得到 -14。

$$-2x-7y=-14$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$x-18y=-36$$

將 18y 加到方程式的兩邊。

$$x=18y-36$$

在另一個方程式 -2x-7y=-14 中以 -36+18y 代入 x在方程式。

$$-2\left(18y-36\right)-7y=-14$$

-2 乘上 -36+18y。

$$-36y+72-7y=-14$$

將 -36y 加到 -7y。

$$-43y+72=-14$$

從方程式兩邊減去 72。

$$-43y=-86$$

將兩邊同時除以 -43。

$$y=2$$

在 x=18y-36 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=18\times 2-36$$

18 乘上 2。

$$x=36-36$$

將 -36 加到 36。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=2$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 計算 4 乘上 2x-y 時使用乘法分配律。

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

計算 -7 乘上 2y+x 時使用乘法分配律。

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

合併 -4y 和 -14y 以取得 -18y。

$$8x-18y-7x=-36$$

合併 8x 和 -7x 以取得 x。

$$x-18y=-36$$

考慮第二個方程式。 計算 -2 乘上 x+2 時使用乘法分配律。

$$-2x-4-7y=-18$$

新增 4 至兩側。

$$-2x-7y=-18+4$$

將 -18 與 4 相加可以得到 -14。

$$-2x-7y=-14$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-18\\-2&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}&-\frac{-18}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{-7-\left(-18\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{43}&-\frac{18}{43}\\-\frac{2}{43}&-\frac{1}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-36\\-14\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{43}\left(-36\right)-\frac{18}{43}\left(-14\right)\\-\frac{2}{43}\left(-36\right)-\frac{1}{43}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=0,y=2$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 計算 4 乘上 2x-y 時使用乘法分配律。

$$8x-4y-7\left(2y+x\right)=-36$$

計算 -7 乘上 2y+x 時使用乘法分配律。

$$8x-4y-14y-7x=-36$$

合併 -4y 和 -14y 以取得 -18y。

$$8x-18y-7x=-36$$

合併 8x 和 -7x 以取得 x。

$$x-18y=-36$$

考慮第二個方程式。 計算 -2 乘上 x+2 時使用乘法分配律。

$$-2x-4-7y=-18$$

新增 4 至兩側。

$$-2x-7y=-18+4$$

將 -18 與 4 相加可以得到 -14。

$$-2x-7y=-14$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$x-18y=-36,-2x-7y=-14$$

讓 x 和 -2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 1。

$$-2x-2\left(-18\right)y=-2\left(-36\right),-2x-7y=-14$$

化簡。

$$-2x+36y=72,-2x-7y=-14$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -2x+36y=72 減去 -2x-7y=-14。

$$-2x+2x+36y+7y=72+14$$

將 -2x 加到 2x。 -2x 和 2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$36y+7y=72+14$$

將 36y 加到 7y。

$$43y=72+14$$

將 72 加到 14。

$$43y=86$$

將兩邊同時除以 43。

$$y=2$$

在 -2x-7y=-14 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-2x-7\times 2=-14$$

-7 乘上 2。

$$-2x-14=-14$$

將 14 加到方程式的兩邊。

$$-2x=0$$

將兩邊同時除以 -2。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=2$$