解決{l}{361x+463y=-102}{463x+361y=102} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 361 x + 463 y = - 102 } \\ { 463 x + 361 y = 102 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=1$$

$$y=-1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$361x+463y=-102$$

從方程式兩邊減去 463y。

$$361x=-463y-102$$

將兩邊同時除以 361。

$$x=\frac{1}{361}\left(-463y-102\right)$$

\frac{1}{361} 乘上 -463y-102。

$$x=-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}$$

在另一個方程式 463x+361y=102 中以 \frac{-463y-102}{361} 代入 x在方程式。

$$463\left(-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361}\right)+361y=102$$

463 乘上 \frac{-463y-102}{361}。

$$-\frac{214369}{361}y-\frac{47226}{361}+361y=102$$

將 -\frac{214369y}{361} 加到 361y。

$$-\frac{84048}{361}y-\frac{47226}{361}=102$$

將 \frac{47226}{361} 加到方程式的兩邊。

$$-\frac{84048}{361}y=\frac{84048}{361}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{84048}{361}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-1$$

在 x=-\frac{463}{361}y-\frac{102}{361} 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{463}{361}\left(-1\right)-\frac{102}{361}$$

-\frac{463}{361} 乘上 -1。

$$x=\frac{463-102}{361}$$

將 -\frac{102}{361} 與 \frac{463}{361} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=-1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}361&463\\463&361\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{361}{361\times 361-463\times 463}&-\frac{463}{361\times 361-463\times 463}\\-\frac{463}{361\times 361-463\times 463}&\frac{361}{361\times 361-463\times 463}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{361}{84048}&\frac{463}{84048}\\\frac{463}{84048}&-\frac{361}{84048}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-102\\102\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{361}{84048}\left(-102\right)+\frac{463}{84048}\times 102\\\frac{463}{84048}\left(-102\right)-\frac{361}{84048}\times 102\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=1,y=-1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$361x+463y=-102,463x+361y=102$$

讓 361x 和 463x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 463，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 361。

$$463\times 361x+463\times 463y=463\left(-102\right),361\times 463x+361\times 361y=361\times 102$$

化簡。

$$167143x+214369y=-47226,167143x+130321y=36822$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 167143x+214369y=-47226 減去 167143x+130321y=36822。

$$167143x-167143x+214369y-130321y=-47226-36822$$

將 167143x 加到 -167143x。 167143x 和 -167143x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$214369y-130321y=-47226-36822$$

將 214369y 加到 -130321y。

$$84048y=-47226-36822$$

將 -47226 加到 -36822。

$$84048y=-84048$$

將兩邊同時除以 84048。

$$y=-1$$

在 463x+361y=102 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$463x+361\left(-1\right)=102$$

361 乘上 -1。

$$463x-361=102$$

將 361 加到方程式的兩邊。

$$463x=463$$

將兩邊同時除以 463。

$$x=1$$

現已成功解出系統。

$$x=1,y=-1$$