解決{l}{30x+15y=675}{42x+20y=940} |Microsoft數學求解器

解 x, y

圖表

測驗

Simultaneous Equation

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30x+15y=675,42x+20y=940

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

30x+15y=675

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

30x=-15y+675

從方程式兩邊減去 15y。

x=\frac{1}{30}\left(-15y+675\right)

將兩邊同時除以 30。

x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}

\frac{1}{30} 乘上 -15y+675。

42\left(-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}\right)+20y=940

在另一個方程式 42x+20y=940 中以 \frac{-y+45}{2} 代入 x在方程式。

-21y+945+20y=940

42 乘上 \frac{-y+45}{2}。

-y+945=940

將 -21y 加到 20y。

-y=-5

從方程式兩邊減去 945。

y=5

將兩邊同時除以 -1。

x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{45}{2}

在 x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2} 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

x=\frac{-5+45}{2}

-\frac{1}{2} 乘上 5。

x=20

將 \frac{45}{2} 與 -\frac{5}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

x=20,y=5

現已成功解出系統。

30x+15y=675,42x+20y=940

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{30\times 20-15\times 42}&-\frac{15}{30\times 20-15\times 42}\\-\frac{42}{30\times 20-15\times 42}&\frac{30}{30\times 20-15\times 42}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{7}{5}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 675+\frac{1}{2}\times 940\\\frac{7}{5}\times 675-940\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\5\end{matrix}\right)

計算。

x=20,y=5

解出矩陣元素 x 和 y。

30x+15y=675,42x+20y=940

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

42\times 30x+42\times 15y=42\times 675,30\times 42x+30\times 20y=30\times 940

讓 30x 和 42x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 42，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 30。

1260x+630y=28350,1260x+600y=28200

化簡。

1260x-1260x+630y-600y=28350-28200