解決{l}{30x+15y=675}{42x+20y=940} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 30 x + 15 y = 675 } \\ { 42 x + 20 y = 940 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=20$$

$$y=5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$30x+15y=675$$

從方程式兩邊減去 15y。

$$30x=-15y+675$$

將兩邊同時除以 30。

$$x=\frac{1}{30}\left(-15y+675\right)$$

\frac{1}{30} 乘上 -15y+675。

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}$$

在另一個方程式 42x+20y=940 中以 \frac{-y+45}{2} 代入 x在方程式。

$$42\left(-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2}\right)+20y=940$$

42 乘上 \frac{-y+45}{2}。

$$-21y+945+20y=940$$

將 -21y 加到 20y。

$$-y+945=940$$

從方程式兩邊減去 945。

$$-y=-5$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=5$$

在 x=-\frac{1}{2}y+\frac{45}{2} 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{2}\times 5+\frac{45}{2}$$

-\frac{1}{2} 乘上 5。

$$x=\frac{-5+45}{2}$$

將 \frac{45}{2} 與 -\frac{5}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=20$$

現已成功解出系統。

$$x=20,y=5$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}30&15\\42&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{30\times 20-15\times 42}&-\frac{15}{30\times 20-15\times 42}\\-\frac{42}{30\times 20-15\times 42}&\frac{30}{30\times 20-15\times 42}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{1}{2}\\\frac{7}{5}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}675\\940\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 675+\frac{1}{2}\times 940\\\frac{7}{5}\times 675-940\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\5\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=20,y=5$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$30x+15y=675,42x+20y=940$$

讓 30x 和 42x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 42，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 30。

$$42\times 30x+42\times 15y=42\times 675,30\times 42x+30\times 20y=30\times 940$$

化簡。

$$1260x+630y=28350,1260x+600y=28200$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 1260x+630y=28350 減去 1260x+600y=28200。

$$1260x-1260x+630y-600y=28350-28200$$

將 1260x 加到 -1260x。 1260x 和 -1260x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$630y-600y=28350-28200$$

將 630y 加到 -600y。

$$30y=28350-28200$$

將 28350 加到 -28200。

$$30y=150$$

將兩邊同時除以 30。

$$y=5$$

在 42x+20y=940 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$42x+20\times 5=940$$

20 乘上 5。

$$42x+100=940$$

從方程式兩邊減去 100。

$$42x=840$$

將兩邊同時除以 42。

$$x=20$$

現已成功解出系統。

$$x=20,y=5$$