解決{l}{3y-7x=-9}{5x+2y=23} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 y - 7 x = - 9 } \\ { 5 x + 2 y = 23 } \end{array} \right.$$

解 y、x

$$x=3$$

$$y=4$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。

$$3y-7x=-9$$

將 7x 加到方程式的兩邊。

$$3y=7x-9$$

將兩邊同時除以 3。

$$y=\frac{1}{3}\left(7x-9\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 7x-9。

$$y=\frac{7}{3}x-3$$

在另一個方程式 2y+5x=23 中以 \frac{7x}{3}-3 代入 y在方程式。

$$2\left(\frac{7}{3}x-3\right)+5x=23$$

2 乘上 \frac{7x}{3}-3。

$$\frac{14}{3}x-6+5x=23$$

將 \frac{14x}{3} 加到 5x。

$$\frac{29}{3}x-6=23$$

將 6 加到方程式的兩邊。

$$\frac{29}{3}x=29$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{29}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$x=3$$

在 y=\frac{7}{3}x-3 中以 3 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$y=\frac{7}{3}\times 3-3$$

\frac{7}{3} 乘上 3。

$$y=7-3$$

將 -3 加到 7。

$$y=4$$

現已成功解出系統。

$$y=4,x=3$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 5-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}&\frac{7}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{3}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\23\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{29}\left(-9\right)+\frac{7}{29}\times 23\\-\frac{2}{29}\left(-9\right)+\frac{3}{29}\times 23\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 y 和 x。

$$y=4,x=3$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3y-7x=-9,2y+5x=23$$

讓 3y 和 2y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$2\times 3y+2\left(-7\right)x=2\left(-9\right),3\times 2y+3\times 5x=3\times 23$$

化簡。

$$6y-14x=-18,6y+15x=69$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6y-14x=-18 減去 6y+15x=69。

$$6y-6y-14x-15x=-18-69$$

將 6y 加到 -6y。 6y 和 -6y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-14x-15x=-18-69$$

將 -14x 加到 -15x。

$$-29x=-18-69$$

將 -18 加到 -69。

$$-29x=-87$$

將兩邊同時除以 -29。

$$x=3$$

在 2y+5x=23 中以 3 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。

$$2y+5\times 3=23$$

5 乘上 3。

$$2y+15=23$$

從方程式兩邊減去 15。

$$2y=8$$

將兩邊同時除以 2。

$$y=4$$

現已成功解出系統。

$$y=4,x=3$$