\left\{ \begin{array} { l } { 3 y - 4 x = 1 } \\ { 3 x + 4 y = 18 } \end{array} \right.
解 y、x
x=2
y=3
圖表
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3y-4x=1,4y+3x=18
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
3y-4x=1
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 y: 將 y 單獨置於等號的左邊。
3y=4x+1
將 4x 加到方程式的兩邊。
y=\frac{1}{3}\left(4x+1\right)
將兩邊同時除以 3。
y=\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}
\frac{1}{3} 乘上 4x+1。
4\left(\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}\right)+3x=18
在另一個方程式 4y+3x=18 中以 \frac{4x+1}{3} 代入 y在方程式。
\frac{16}{3}x+\frac{4}{3}+3x=18
4 乘上 \frac{4x+1}{3}。
\frac{25}{3}x+\frac{4}{3}=18
將 \frac{16x}{3} 加到 3x。
\frac{25}{3}x=\frac{50}{3}
從方程式兩邊減去 \frac{4}{3}。
x=2
對方程式的兩邊同時除以 \frac{25}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
y=\frac{4}{3}\times 2+\frac{1}{3}
在 y=\frac{4}{3}x+\frac{1}{3} 中以 2 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。
y=\frac{8+1}{3}
\frac{4}{3} 乘上 2。
y=3
將 \frac{1}{3} 與 \frac{8}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
y=3,x=2
現已成功解出系統。
3y-4x=1,4y+3x=18
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}3&-4\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\18\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\18\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-4\\4&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\18\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\18\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-4\times 4\right)}&-\frac{-4}{3\times 3-\left(-4\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 3-\left(-4\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-4\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\18\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\\-\frac{4}{25}&\frac{3}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\18\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}+\frac{4}{25}\times 18\\-\frac{4}{25}+\frac{3}{25}\times 18\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)
計算。
y=3,x=2
解出矩陣元素 y 和 x。
3y-4x=1,4y+3x=18
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
4\times 3y+4\left(-4\right)x=4,3\times 4y+3\times 3x=3\times 18
讓 3y 和 4y 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。
12y-16x=4,12y+9x=54
化簡。
12y-12y-16x-9x=4-54
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 12y-16x=4 減去 12y+9x=54。
-16x-9x=4-54
將 12y 加到 -12y。 12y 和 -12y 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
-25x=4-54
將 -16x 加到 -9x。
-25x=-50
將 4 加到 -54。
x=2
將兩邊同時除以 -25。
4y+3\times 2=18
在 4y+3x=18 中以 2 代入 x。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 y。
4y+6=18
3 乘上 2。
4y=12
從方程式兩邊減去 6。
y=3
將兩邊同時除以 4。
y=3,x=2
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}