解決{l}{3x-y=19}{2x+7y=5} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 19 } \\ { 2 x + 7 y = 5 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=6$$

$$y=-1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x-y=19,2x+7y=5$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x-y=19$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$3x=y+19$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(y+19\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 y+19。

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{19}{3}$$

在另一個方程式 2x+7y=5 中以 \frac{19+y}{3} 代入 x在方程式。

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{19}{3}\right)+7y=5$$

2 乘上 \frac{19+y}{3}。

$$\frac{2}{3}y+\frac{38}{3}+7y=5$$

將 \frac{2y}{3} 加到 7y。

$$\frac{23}{3}y+\frac{38}{3}=5$$

從方程式兩邊減去 \frac{38}{3}。

$$\frac{23}{3}y=-\frac{23}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{23}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-1$$

在 x=\frac{1}{3}y+\frac{19}{3} 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{3}\left(-1\right)+\frac{19}{3}$$

\frac{1}{3} 乘上 -1。

$$x=\frac{-1+19}{3}$$

將 \frac{19}{3} 與 -\frac{1}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=6$$

現已成功解出系統。

$$x=6,y=-1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x-y=19,2x+7y=5$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{3\times 7-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{3\times 7-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 7-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}&\frac{1}{23}\\-\frac{2}{23}&\frac{3}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{23}\times 19+\frac{1}{23}\times 5\\-\frac{2}{23}\times 19+\frac{3}{23}\times 5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=6,y=-1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x-y=19,2x+7y=5$$

讓 3x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$2\times 3x+2\left(-1\right)y=2\times 19,3\times 2x+3\times 7y=3\times 5$$

化簡。

$$6x-2y=38,6x+21y=15$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6x-2y=38 減去 6x+21y=15。

$$6x-6x-2y-21y=38-15$$

將 6x 加到 -6x。 6x 和 -6x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-2y-21y=38-15$$

將 -2y 加到 -21y。

$$-23y=38-15$$

將 38 加到 -15。

$$-23y=23$$

將兩邊同時除以 -23。

$$y=-1$$

在 2x+7y=5 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x+7\left(-1\right)=5$$

7 乘上 -1。

$$2x-7=5$$

將 7 加到方程式的兩邊。

$$2x=12$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=6$$

現已成功解出系統。

$$x=6,y=-1$$