解決{l}{3x-y=11}{5x+3y=9} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 11 } \\ { 5 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=3$$

$$y=-2$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x-y=11,5x+3y=9$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x-y=11$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$3x=y+11$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(y+11\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 y+11。

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}$$

在另一個方程式 5x+3y=9 中以 \frac{11+y}{3} 代入 x在方程式。

$$5\left(\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}\right)+3y=9$$

5 乘上 \frac{11+y}{3}。

$$\frac{5}{3}y+\frac{55}{3}+3y=9$$

將 \frac{5y}{3} 加到 3y。

$$\frac{14}{3}y+\frac{55}{3}=9$$

從方程式兩邊減去 \frac{55}{3}。

$$\frac{14}{3}y=-\frac{28}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{14}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-2$$

在 x=\frac{1}{3}y+\frac{11}{3} 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{3}\left(-2\right)+\frac{11}{3}$$

\frac{1}{3} 乘上 -2。

$$x=\frac{-2+11}{3}$$

將 \frac{11}{3} 與 -\frac{2}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=-2$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x-y=11,5x+3y=9$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-1\\5&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{3\times 3-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{3\times 3-\left(-5\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}&\frac{1}{14}\\-\frac{5}{14}&\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\9\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}\times 11+\frac{1}{14}\times 9\\-\frac{5}{14}\times 11+\frac{3}{14}\times 9\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=3,y=-2$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x-y=11,5x+3y=9$$

讓 3x 和 5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$5\times 3x+5\left(-1\right)y=5\times 11,3\times 5x+3\times 3y=3\times 9$$

化簡。

$$15x-5y=55,15x+9y=27$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 15x-5y=55 減去 15x+9y=27。

$$15x-15x-5y-9y=55-27$$

將 15x 加到 -15x。 15x 和 -15x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-5y-9y=55-27$$

將 -5y 加到 -9y。

$$-14y=55-27$$

將 55 加到 -27。

$$-14y=28$$

將兩邊同時除以 -14。

$$y=-2$$

在 5x+3y=9 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5x+3\left(-2\right)=9$$

3 乘上 -2。

$$5x-6=9$$

將 6 加到方程式的兩邊。

$$5x=15$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=3$$

現已成功解出系統。

$$x=3,y=-2$$