解決{l}{3x-y=1}{5x-3y=1} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - y = 1 } \\ { 5 x - 3 y = 1 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x-y=1,5x-3y=1$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x-y=1$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$3x=y+1$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(y+1\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 y+1。

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$$

在另一個方程式 5x-3y=1 中以 \frac{1+y}{3} 代入 x在方程式。

$$5\left(\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)-3y=1$$

5 乘上 \frac{1+y}{3}。

$$\frac{5}{3}y+\frac{5}{3}-3y=1$$

將 \frac{5y}{3} 加到 -3y。

$$-\frac{4}{3}y+\frac{5}{3}=1$$

從方程式兩邊減去 \frac{5}{3}。

$$-\frac{4}{3}y=-\frac{2}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{4}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{1}{2}$$

在 x=\frac{1}{3}y+\frac{1}{3} 中以 \frac{1}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}+\frac{1}{3}$$

\frac{1}{3} 乘上 \frac{1}{2} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{1}{6}+\frac{1}{3}$$

將 \frac{1}{3} 與 \frac{1}{6} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{1}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x-y=1,5x-3y=1$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-1\\5&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{3\left(-3\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{3\left(-3\right)-\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{5}{4}&-\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3-1}{4}\\\frac{5-3}{4}\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x-y=1,5x-3y=1$$

讓 3x 和 5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$5\times 3x+5\left(-1\right)y=5,3\times 5x+3\left(-3\right)y=3$$

化簡。

$$15x-5y=5,15x-9y=3$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 15x-5y=5 減去 15x-9y=3。

$$15x-15x-5y+9y=5-3$$

將 15x 加到 -15x。 15x 和 -15x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-5y+9y=5-3$$

將 -5y 加到 9y。

$$4y=5-3$$

將 5 加到 -3。

$$4y=2$$

將兩邊同時除以 4。

$$y=\frac{1}{2}$$

在 5x-3y=1 中以 \frac{1}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5x-3\times \frac{1}{2}=1$$

-3 乘上 \frac{1}{2}。

$$5x-\frac{3}{2}=1$$

將 \frac{3}{2} 加到方程式的兩邊。

$$5x=\frac{5}{2}$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{1}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{1}{2}$$