解決{l}{3x-8y=9}{4x+3y=-10} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 8 y = 9 } \\ { 4 x + 3 y = - 10 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = -\frac{53}{41} = -1\frac{12}{41} \approx -1.292682927$$

$$y = -\frac{66}{41} = -1\frac{25}{41} \approx -1.609756098$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x-8y=9,4x+3y=-10$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x-8y=9$$

將 8y 加到方程式的兩邊。

$$3x=8y+9$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(8y+9\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 8y+9。

$$x=\frac{8}{3}y+3$$

在另一個方程式 4x+3y=-10 中以 \frac{8y}{3}+3 代入 x在方程式。

$$4\left(\frac{8}{3}y+3\right)+3y=-10$$

4 乘上 \frac{8y}{3}+3。

$$\frac{32}{3}y+12+3y=-10$$

將 \frac{32y}{3} 加到 3y。

$$\frac{41}{3}y+12=-10$$

從方程式兩邊減去 12。

$$\frac{41}{3}y=-22$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{41}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{66}{41}$$

在 x=\frac{8}{3}y+3 中以 -\frac{66}{41} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{8}{3}\left(-\frac{66}{41}\right)+3$$

\frac{8}{3} 乘上 -\frac{66}{41} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{176}{41}+3$$

將 3 加到 -\frac{176}{41}。

$$x=-\frac{53}{41}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{53}{41},y=-\frac{66}{41}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x-8y=9,4x+3y=-10$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}&-\frac{-8}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-8\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}&\frac{8}{41}\\-\frac{4}{41}&\frac{3}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-10\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}\times 9+\frac{8}{41}\left(-10\right)\\-\frac{4}{41}\times 9+\frac{3}{41}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{53}{41}\\-\frac{66}{41}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{53}{41},y=-\frac{66}{41}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x-8y=9,4x+3y=-10$$

讓 3x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$4\times 3x+4\left(-8\right)y=4\times 9,3\times 4x+3\times 3y=3\left(-10\right)$$

化簡。

$$12x-32y=36,12x+9y=-30$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 12x-32y=36 減去 12x+9y=-30。

$$12x-12x-32y-9y=36+30$$

將 12x 加到 -12x。 12x 和 -12x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-32y-9y=36+30$$

將 -32y 加到 -9y。

$$-41y=36+30$$

將 36 加到 30。

$$-41y=66$$

將兩邊同時除以 -41。

$$y=-\frac{66}{41}$$

在 4x+3y=-10 中以 -\frac{66}{41} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x+3\left(-\frac{66}{41}\right)=-10$$

3 乘上 -\frac{66}{41}。

$$4x-\frac{198}{41}=-10$$

將 \frac{198}{41} 加到方程式的兩邊。

$$4x=-\frac{212}{41}$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=-\frac{53}{41}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{53}{41},y=-\frac{66}{41}$$