解決{l}{3x-8y=-13}{5y+2x=-19} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 8 y = - 13 } \\ { 5 y + 2 x = - 19 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-7$$

$$y=-1$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x-8y=-13,2x+5y=-19$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x-8y=-13$$

將 8y 加到方程式的兩邊。

$$3x=8y-13$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(8y-13\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 8y-13。

$$x=\frac{8}{3}y-\frac{13}{3}$$

在另一個方程式 2x+5y=-19 中以 \frac{8y-13}{3} 代入 x在方程式。

$$2\left(\frac{8}{3}y-\frac{13}{3}\right)+5y=-19$$

2 乘上 \frac{8y-13}{3}。

$$\frac{16}{3}y-\frac{26}{3}+5y=-19$$

將 \frac{16y}{3} 加到 5y。

$$\frac{31}{3}y-\frac{26}{3}=-19$$

將 \frac{26}{3} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{31}{3}y=-\frac{31}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{31}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-1$$

在 x=\frac{8}{3}y-\frac{13}{3} 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{8}{3}\left(-1\right)-\frac{13}{3}$$

\frac{8}{3} 乘上 -1。

$$x=\frac{-8-13}{3}$$

將 -\frac{13}{3} 與 -\frac{8}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-7$$

現已成功解出系統。

$$x=-7,y=-1$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x-8y=-13,2x+5y=-19$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-8\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3\times 5-\left(-8\times 2\right)}&-\frac{-8}{3\times 5-\left(-8\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\times 5-\left(-8\times 2\right)}&\frac{3}{3\times 5-\left(-8\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}&\frac{8}{31}\\-\frac{2}{31}&\frac{3}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\-19\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{31}\left(-13\right)+\frac{8}{31}\left(-19\right)\\-\frac{2}{31}\left(-13\right)+\frac{3}{31}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-1\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-7,y=-1$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x-8y=-13,2x+5y=-19$$

讓 3x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$2\times 3x+2\left(-8\right)y=2\left(-13\right),3\times 2x+3\times 5y=3\left(-19\right)$$

化簡。

$$6x-16y=-26,6x+15y=-57$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6x-16y=-26 減去 6x+15y=-57。

$$6x-6x-16y-15y=-26+57$$

將 6x 加到 -6x。 6x 和 -6x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-16y-15y=-26+57$$

將 -16y 加到 -15y。

$$-31y=-26+57$$

將 -26 加到 57。

$$-31y=31$$

將兩邊同時除以 -31。

$$y=-1$$

在 2x+5y=-19 中以 -1 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x+5\left(-1\right)=-19$$

5 乘上 -1。

$$2x-5=-19$$

將 5 加到方程式的兩邊。

$$2x=-14$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=-7$$

現已成功解出系統。

$$x=-7,y=-1$$