解決{l}{3x-7y=114}{4x-3y=76} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 7 y = 114 } \\ { 4 x - 3 y = 76 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=10$$

$$y=-12$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x-7y=114,4x-3y=76$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x-7y=114$$

將 7y 加到方程式的兩邊。

$$3x=7y+114$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(7y+114\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 7y+114。

$$x=\frac{7}{3}y+38$$

在另一個方程式 4x-3y=76 中以 \frac{7y}{3}+38 代入 x在方程式。

$$4\left(\frac{7}{3}y+38\right)-3y=76$$

4 乘上 \frac{7y}{3}+38。

$$\frac{28}{3}y+152-3y=76$$

將 \frac{28y}{3} 加到 -3y。

$$\frac{19}{3}y+152=76$$

從方程式兩邊減去 152。

$$\frac{19}{3}y=-76$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{19}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-12$$

在 x=\frac{7}{3}y+38 中以 -12 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{7}{3}\left(-12\right)+38$$

\frac{7}{3} 乘上 -12。

$$x=-28+38$$

將 38 加到 -28。

$$x=10$$

現已成功解出系統。

$$x=10,y=-12$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x-7y=114,4x-3y=76$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-7\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}114\\76\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-7\\4&-3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-7\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}114\\76\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}114\\76\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}114\\76\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-7\times 4\right)}&-\frac{-7}{3\left(-3\right)-\left(-7\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\left(-3\right)-\left(-7\times 4\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-7\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}114\\76\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{19}&\frac{7}{19}\\-\frac{4}{19}&\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}114\\76\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{19}\times 114+\frac{7}{19}\times 76\\-\frac{4}{19}\times 114+\frac{3}{19}\times 76\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-12\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=10,y=-12$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x-7y=114,4x-3y=76$$

讓 3x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$4\times 3x+4\left(-7\right)y=4\times 114,3\times 4x+3\left(-3\right)y=3\times 76$$

化簡。

$$12x-28y=456,12x-9y=228$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 12x-28y=456 減去 12x-9y=228。

$$12x-12x-28y+9y=456-228$$

將 12x 加到 -12x。 12x 和 -12x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-28y+9y=456-228$$

將 -28y 加到 9y。

$$-19y=456-228$$

將 456 加到 -228。

$$-19y=228$$

將兩邊同時除以 -19。

$$y=-12$$

在 4x-3y=76 中以 -12 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x-3\left(-12\right)=76$$

-3 乘上 -12。

$$4x+36=76$$

從方程式兩邊減去 36。

$$4x=40$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=10$$

現已成功解出系統。

$$x=10,y=-12$$