解決{l}{3x-7y=0}{2x-5y=0} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 7 y = 0 } \\ { 2 x - 5 y = 0 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=0$$

$$y=0$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x-7y=0,2x-5y=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x-7y=0$$

將 7y 加到方程式的兩邊。

$$3x=7y$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\times 7y$$

\frac{1}{3} 乘上 7y。

$$x=\frac{7}{3}y$$

在另一個方程式 2x-5y=0 中以 \frac{7y}{3} 代入 x在方程式。

$$2\times \frac{7}{3}y-5y=0$$

2 乘上 \frac{7y}{3}。

$$\frac{14}{3}y-5y=0$$

將 \frac{14y}{3} 加到 -5y。

$$-\frac{1}{3}y=0$$

將兩邊同時乘上 -3。

$$y=0$$

在 x=\frac{7}{3}y 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=0$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x-7y=0,2x-5y=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-7\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-7\\2&-5\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-7\\2&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-7\\2&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{3\left(-5\right)-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{3\left(-5\right)-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-5\right)-\left(-7\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-5\right)-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-7\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=0,y=0$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x-7y=0,2x-5y=0$$

讓 3x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$2\times 3x+2\left(-7\right)y=0,3\times 2x+3\left(-5\right)y=0$$

化簡。

$$6x-14y=0,6x-15y=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6x-14y=0 減去 6x-15y=0。

$$6x-6x-14y+15y=0$$

將 6x 加到 -6x。 6x 和 -6x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-14y+15y=0$$

將 -14y 加到 15y。

$$y=0$$

在 2x-5y=0 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$2x=0$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=0$$

現已成功解出系統。

$$x=0,y=0$$