解決{l}{3x-5y=7}{4x+2y=5} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = 7 } \\ { 4 x + 2 y = 5 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y=-\frac{1}{2}=-0.5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x-5y=7,4x+2y=5$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x-5y=7$$

將 5y 加到方程式的兩邊。

$$3x=5y+7$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+7\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 5y+7。

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}$$

在另一個方程式 4x+2y=5 中以 \frac{5y+7}{3} 代入 x在方程式。

$$4\left(\frac{5}{3}y+\frac{7}{3}\right)+2y=5$$

4 乘上 \frac{5y+7}{3}。

$$\frac{20}{3}y+\frac{28}{3}+2y=5$$

將 \frac{20y}{3} 加到 2y。

$$\frac{26}{3}y+\frac{28}{3}=5$$

從方程式兩邊減去 \frac{28}{3}。

$$\frac{26}{3}y=-\frac{13}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{26}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{1}{2}$$

在 x=\frac{5}{3}y+\frac{7}{3} 中以 -\frac{1}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{7}{3}$$

\frac{5}{3} 乘上 -\frac{1}{2} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{5}{6}+\frac{7}{3}$$

將 \frac{7}{3} 與 -\frac{5}{6} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{3}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{1}{2}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x-5y=7,4x+2y=5$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\4&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}&\frac{5}{26}\\-\frac{2}{13}&\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{13}\times 7+\frac{5}{26}\times 5\\-\frac{2}{13}\times 7+\frac{3}{26}\times 5\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{1}{2}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x-5y=7,4x+2y=5$$

讓 3x 和 4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$4\times 3x+4\left(-5\right)y=4\times 7,3\times 4x+3\times 2y=3\times 5$$

化簡。

$$12x-20y=28,12x+6y=15$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 12x-20y=28 減去 12x+6y=15。

$$12x-12x-20y-6y=28-15$$

將 12x 加到 -12x。 12x 和 -12x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-20y-6y=28-15$$

將 -20y 加到 -6y。

$$-26y=28-15$$

將 28 加到 -15。

$$-26y=13$$

將兩邊同時除以 -26。

$$y=-\frac{1}{2}$$

在 4x+2y=5 中以 -\frac{1}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$4x+2\left(-\frac{1}{2}\right)=5$$

2 乘上 -\frac{1}{2}。

$$4x-1=5$$

將 1 加到方程式的兩邊。

$$4x=6$$

將兩邊同時除以 4。

$$x=\frac{3}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{3}{2},y=-\frac{1}{2}$$