\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 5 y = - 16 } \\ { 2 x - 2 y = - 4 } \end{array} \right.
解 x、y
x=3
y=5
圖表
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3x-5y=-16,2x-2y=-4
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
3x-5y=-16
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
3x=5y-16
將 5y 加到方程式的兩邊。
x=\frac{1}{3}\left(5y-16\right)
將兩邊同時除以 3。
x=\frac{5}{3}y-\frac{16}{3}
\frac{1}{3} 乘上 5y-16。
2\left(\frac{5}{3}y-\frac{16}{3}\right)-2y=-4
在另一個方程式 2x-2y=-4 中以 \frac{5y-16}{3} 代入 x在方程式。
\frac{10}{3}y-\frac{32}{3}-2y=-4
2 乘上 \frac{5y-16}{3}。
\frac{4}{3}y-\frac{32}{3}=-4
將 \frac{10y}{3} 加到 -2y。
\frac{4}{3}y=\frac{20}{3}
將 \frac{32}{3} 加到方程式的兩邊。
y=5
對方程式的兩邊同時除以 \frac{4}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=\frac{5}{3}\times 5-\frac{16}{3}
在 x=\frac{5}{3}y-\frac{16}{3} 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=\frac{25-16}{3}
\frac{5}{3} 乘上 5。
x=3
將 -\frac{16}{3} 與 \frac{25}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=3,y=5
現已成功解出系統。
3x-5y=-16,2x-2y=-4
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\-4\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-4\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-5\\2&-2\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-4\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-4\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 2\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\-4\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{5}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\-4\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-16\right)+\frac{5}{4}\left(-4\right)\\-\frac{1}{2}\left(-16\right)+\frac{3}{4}\left(-4\right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)
計算。
x=3,y=5
解出矩陣元素 x 和 y。
3x-5y=-16,2x-2y=-4
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
2\times 3x+2\left(-5\right)y=2\left(-16\right),3\times 2x+3\left(-2\right)y=3\left(-4\right)
讓 3x 和 2x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 2，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。
6x-10y=-32,6x-6y=-12
化簡。
6x-6x-10y+6y=-32+12
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 6x-10y=-32 減去 6x-6y=-12。
-10y+6y=-32+12
將 6x 加到 -6x。 6x 和 -6x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
-4y=-32+12
將 -10y 加到 6y。
-4y=-20
將 -32 加到 12。
y=5
將兩邊同時除以 -4。
2x-2\times 5=-4
在 2x-2y=-4 中以 5 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
2x-10=-4
-2 乘上 5。
2x=6
將 10 加到方程式的兩邊。
x=3
將兩邊同時除以 2。
x=3,y=5
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}