解決{l}{3x-4y=7}{x+3/2-y=4} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 4 y = 7 } \\ { \frac { x + 3 } { 2 } - y = 4 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=-3$$

$$y=-4$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x-4y=7,\frac{1}{2}\left(x+3\right)-y=4$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x-4y=7$$

將 4y 加到方程式的兩邊。

$$3x=4y+7$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(4y+7\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 4y+7。

$$x=\frac{4}{3}y+\frac{7}{3}$$

在另一個方程式 \frac{1}{2}\left(x+3\right)-y=4 中以 \frac{4y+7}{3} 代入 x在方程式。

$$\frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}y+\frac{7}{3}+3\right)-y=4$$

將 \frac{7}{3} 加到 3。

$$\frac{1}{2}\left(\frac{4}{3}y+\frac{16}{3}\right)-y=4$$

\frac{1}{2} 乘上 \frac{16+4y}{3}。

$$\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}-y=4$$

將 \frac{2y}{3} 加到 -y。

$$-\frac{1}{3}y+\frac{8}{3}=4$$

從方程式兩邊減去 \frac{8}{3}。

$$-\frac{1}{3}y=\frac{4}{3}$$

將兩邊同時乘上 -3。

$$y=-4$$

在 x=\frac{4}{3}y+\frac{7}{3} 中以 -4 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{4}{3}\left(-4\right)+\frac{7}{3}$$

\frac{4}{3} 乘上 -4。

$$x=\frac{-16+7}{3}$$

將 \frac{7}{3} 與 -\frac{16}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-3$$

現已成功解出系統。

$$x=-3,y=-4$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x-4y=7,\frac{1}{2}\left(x+3\right)-y=4$$

化簡第二個方程式，使其成為標準式。

$$\frac{1}{2}\left(x+3\right)-y=4$$

\frac{1}{2} 乘上 x+3。

$$\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}-y=4$$

從方程式兩邊減去 \frac{3}{2}。

$$\frac{1}{2}x-y=\frac{5}{2}$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\\frac{1}{2}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\times \frac{1}{2}\right)}&-\frac{-4}{3\left(-1\right)-\left(-4\times \frac{1}{2}\right)}\\-\frac{\frac{1}{2}}{3\left(-1\right)-\left(-4\times \frac{1}{2}\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\times \frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-4\\\frac{1}{2}&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7-4\times \frac{5}{2}\\\frac{1}{2}\times 7-3\times \frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-4\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-3,y=-4$$