解決{l}{3x-4y=-6}{x+2y=8} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 4 y = - 6 } \\ { x + 2 y = 8 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=2$$

$$y=3$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x-4y=-6,x+2y=8$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x-4y=-6$$

將 4y 加到方程式的兩邊。

$$3x=4y-6$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(4y-6\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 4y-6。

$$x=\frac{4}{3}y-2$$

在另一個方程式 x+2y=8 中以 \frac{4y}{3}-2 代入 x在方程式。

$$\frac{4}{3}y-2+2y=8$$

將 \frac{4y}{3} 加到 2y。

$$\frac{10}{3}y-2=8$$

將 2 加到方程式的兩邊。

$$\frac{10}{3}y=10$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{10}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=3$$

在 x=\frac{4}{3}y-2 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{4}{3}\times 3-2$$

\frac{4}{3} 乘上 3。

$$x=4-2$$

將 -2 加到 4。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=3$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x-4y=-6,x+2y=8$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-4\\1&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{3\times 2-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-6\right)+\frac{2}{5}\times 8\\-\frac{1}{10}\left(-6\right)+\frac{3}{10}\times 8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=2,y=3$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x-4y=-6,x+2y=8$$

讓 3x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$3x-4y=-6,3x+3\times 2y=3\times 8$$

化簡。

$$3x-4y=-6,3x+6y=24$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3x-4y=-6 減去 3x+6y=24。

$$3x-3x-4y-6y=-6-24$$

將 3x 加到 -3x。 3x 和 -3x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-4y-6y=-6-24$$

將 -4y 加到 -6y。

$$-10y=-6-24$$

將 -6 加到 -24。

$$-10y=-30$$

將兩邊同時除以 -10。

$$y=3$$

在 x+2y=8 中以 3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x+2\times 3=8$$

2 乘上 3。

$$x+6=8$$

從方程式兩邊減去 6。

$$x=2$$

現已成功解出系統。

$$x=2,y=3$$