解決{l}{3x-2y=8}{5x+8y=60} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 8 } \\ { 5 x + 8 y = 60 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{92}{17} = 5\frac{7}{17} \approx 5.411764706$$

$$y = \frac{70}{17} = 4\frac{2}{17} \approx 4.117647059$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x-2y=8,5x+8y=60$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x-2y=8$$

將 2y 加到方程式的兩邊。

$$3x=2y+8$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+8\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 8+2y。

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}$$

在另一個方程式 5x+8y=60 中以 \frac{8+2y}{3} 代入 x在方程式。

$$5\left(\frac{2}{3}y+\frac{8}{3}\right)+8y=60$$

5 乘上 \frac{8+2y}{3}。

$$\frac{10}{3}y+\frac{40}{3}+8y=60$$

將 \frac{10y}{3} 加到 8y。

$$\frac{34}{3}y+\frac{40}{3}=60$$

從方程式兩邊減去 \frac{40}{3}。

$$\frac{34}{3}y=\frac{140}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{34}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{70}{17}$$

在 x=\frac{2}{3}y+\frac{8}{3} 中以 \frac{70}{17} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{2}{3}\times \frac{70}{17}+\frac{8}{3}$$

\frac{2}{3} 乘上 \frac{70}{17} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{140}{51}+\frac{8}{3}$$

將 \frac{8}{3} 與 \frac{140}{51} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{92}{17}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{92}{17},y=\frac{70}{17}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x-2y=8,5x+8y=60$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\60\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\60\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\60\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\5&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\60\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{3\times 8-\left(-2\times 5\right)}&-\frac{-2}{3\times 8-\left(-2\times 5\right)}\\-\frac{5}{3\times 8-\left(-2\times 5\right)}&\frac{3}{3\times 8-\left(-2\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\60\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}&\frac{1}{17}\\-\frac{5}{34}&\frac{3}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\60\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}\times 8+\frac{1}{17}\times 60\\-\frac{5}{34}\times 8+\frac{3}{34}\times 60\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{92}{17}\\\frac{70}{17}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{92}{17},y=\frac{70}{17}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x-2y=8,5x+8y=60$$

讓 3x 和 5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\times 8,3\times 5x+3\times 8y=3\times 60$$

化簡。

$$15x-10y=40,15x+24y=180$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 15x-10y=40 減去 15x+24y=180。

$$15x-15x-10y-24y=40-180$$

將 15x 加到 -15x。 15x 和 -15x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-10y-24y=40-180$$

將 -10y 加到 -24y。

$$-34y=40-180$$

將 40 加到 -180。

$$-34y=-140$$

將兩邊同時除以 -34。

$$y=\frac{70}{17}$$

在 5x+8y=60 中以 \frac{70}{17} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5x+8\times \frac{70}{17}=60$$

8 乘上 \frac{70}{17}。

$$5x+\frac{560}{17}=60$$

從方程式兩邊減去 \frac{560}{17}。

$$5x=\frac{460}{17}$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{92}{17}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{92}{17},y=\frac{70}{17}$$