\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 5 } \\ { 11 x + 3 y = 39 } \end{array} \right.
解 x、y
x=3
y=2
圖表
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3x-2y=5,11x+3y=39
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
3x-2y=5
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
3x=2y+5
將 2y 加到方程式的兩邊。
x=\frac{1}{3}\left(2y+5\right)
將兩邊同時除以 3。
x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}
\frac{1}{3} 乘上 2y+5。
11\left(\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)+3y=39
在另一個方程式 11x+3y=39 中以 \frac{2y+5}{3} 代入 x在方程式。
\frac{22}{3}y+\frac{55}{3}+3y=39
11 乘上 \frac{2y+5}{3}。
\frac{31}{3}y+\frac{55}{3}=39
將 \frac{22y}{3} 加到 3y。
\frac{31}{3}y=\frac{62}{3}
從方程式兩邊減去 \frac{55}{3}。
y=2
對方程式的兩邊同時除以 \frac{31}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=\frac{2}{3}\times 2+\frac{5}{3}
在 x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3} 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=\frac{4+5}{3}
\frac{2}{3} 乘上 2。
x=3
將 \frac{5}{3} 與 \frac{4}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=3,y=2
現已成功解出系統。
3x-2y=5,11x+3y=39
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}3&-2\\11&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\39\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\11&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\11&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\11&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\39\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-2\\11&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\11&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\39\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\11&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\39\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 11\right)}&-\frac{-2}{3\times 3-\left(-2\times 11\right)}\\-\frac{11}{3\times 3-\left(-2\times 11\right)}&\frac{3}{3\times 3-\left(-2\times 11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\39\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{31}&\frac{2}{31}\\-\frac{11}{31}&\frac{3}{31}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\39\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{31}\times 5+\frac{2}{31}\times 39\\-\frac{11}{31}\times 5+\frac{3}{31}\times 39\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)
計算。
x=3,y=2
解出矩陣元素 x 和 y。
3x-2y=5,11x+3y=39
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
11\times 3x+11\left(-2\right)y=11\times 5,3\times 11x+3\times 3y=3\times 39
讓 3x 和 11x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 11，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。
33x-22y=55,33x+9y=117
化簡。
33x-33x-22y-9y=55-117
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 33x-22y=55 減去 33x+9y=117。
-22y-9y=55-117
將 33x 加到 -33x。 33x 和 -33x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
-31y=55-117
將 -22y 加到 -9y。
-31y=-62
將 55 加到 -117。
y=2
將兩邊同時除以 -31。
11x+3\times 2=39
在 11x+3y=39 中以 2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
11x+6=39
3 乘上 2。
11x=33
從方程式兩邊減去 6。
x=3
將兩邊同時除以 11。
x=3,y=2
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}