解決{l}{3x-2y=5}{-3x+4y=-9} |Microsoft數學求解器

解 x、y

圖表

測驗

Simultaneous Equation

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3x-2y=5,-3x+4y=-9

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

3x-2y=5

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

3x=2y+5

將 2y 加到方程式的兩邊。

x=\frac{1}{3}\left(2y+5\right)

將兩邊同時除以 3。

x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}

\frac{1}{3} 乘上 2y+5。

-3\left(\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}\right)+4y=-9

在另一個方程式 -3x+4y=-9 中以 \frac{2y+5}{3} 代入 x在方程式。

-2y-5+4y=-9

-3 乘上 \frac{2y+5}{3}。

2y-5=-9

將 -2y 加到 4y。

2y=-4

將 5 加到方程式的兩邊。

y=-2

將兩邊同時除以 2。

x=\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{5}{3}

在 x=\frac{2}{3}y+\frac{5}{3} 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

x=\frac{-4+5}{3}

\frac{2}{3} 乘上 -2。

x=\frac{1}{3}

將 \frac{5}{3} 與 -\frac{4}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

x=\frac{1}{3},y=-2

現已成功解出系統。

3x-2y=5,-3x+4y=-9

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)

以矩陣形式撰寫方程式。

inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right) 的反矩陣。

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)

乘以等號左邊的矩陣。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-9\end{matrix}\right)

計算。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 5+\frac{1}{3}\left(-9\right)\\\frac{1}{2}\times 5+\frac{1}{2}\left(-9\right)\end{matrix}\right)

矩陣相乘。

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\\-2\end{matrix}\right)

計算。

x=\frac{1}{3},y=-2

解出矩陣元素 x 和 y。

3x-2y=5,-3x+4y=-9

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

-3\times 3x-3\left(-2\right)y=-3\times 5,3\left(-3\right)x+3\times 4y=3\left(-9\right)

讓 3x 和 -3x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -3，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

-9x+6y=-15,-9x+12y=-27

化簡。

-9x+9x+6y-12y=-15+27