\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y = 13 } \\ { x + 2 y = - 1 } \end{array} \right.
解 x、y
x=3
y=-2
圖表
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3x-2y=13,x+2y=-1
使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。
3x-2y=13
選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。
3x=2y+13
將 2y 加到方程式的兩邊。
x=\frac{1}{3}\left(2y+13\right)
將兩邊同時除以 3。
x=\frac{2}{3}y+\frac{13}{3}
\frac{1}{3} 乘上 2y+13。
\frac{2}{3}y+\frac{13}{3}+2y=-1
在另一個方程式 x+2y=-1 中以 \frac{2y+13}{3} 代入 x在方程式。
\frac{8}{3}y+\frac{13}{3}=-1
將 \frac{2y}{3} 加到 2y。
\frac{8}{3}y=-\frac{16}{3}
從方程式兩邊減去 \frac{13}{3}。
y=-2
對方程式的兩邊同時除以 \frac{8}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。
x=\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{13}{3}
在 x=\frac{2}{3}y+\frac{13}{3} 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x=\frac{-4+13}{3}
\frac{2}{3} 乘上 -2。
x=3
將 \frac{13}{3} 與 -\frac{4}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。
x=3,y=-2
現已成功解出系統。
3x-2y=13,x+2y=-1
將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。
\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)
以矩陣形式撰寫方程式。
inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)
方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)
矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)
乘以等號左邊的矩陣。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{3\times 2-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)
對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-1\end{matrix}\right)
計算。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 13+\frac{1}{4}\left(-1\right)\\-\frac{1}{8}\times 13+\frac{3}{8}\left(-1\right)\end{matrix}\right)
矩陣相乘。
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)
計算。
x=3,y=-2
解出矩陣元素 x 和 y。
3x-2y=13,x+2y=-1
為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。
3x-2y=13,3x+3\times 2y=3\left(-1\right)
讓 3x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。
3x-2y=13,3x+6y=-3
化簡。
3x-3x-2y-6y=13+3
透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3x-2y=13 減去 3x+6y=-3。
-2y-6y=13+3
將 3x 加到 -3x。 3x 和 -3x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。
-8y=13+3
將 -2y 加到 -6y。
-8y=16
將 13 加到 3。
y=-2
將兩邊同時除以 -8。
x+2\left(-2\right)=-1
在 x+2y=-1 中以 -2 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。
x-4=-1
2 乘上 -2。
x=3
將 4 加到方程式的兩邊。
x=3,y=-2
現已成功解出系統。
示例
二次方程式
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
三角學
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
線性方程
y = 3x + 4
算術
699 * 533
矩陣
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
聯立方程
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
微分
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
積分
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
限制
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}