解決{l}{3x-2y+2=6}{3x+2y=4} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x - 2 y + 2 = 6 } \\ { 3 x + 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y=0$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x-2y+2=6,3x+2y=4$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x-2y+2=6$$

從方程式兩邊減去 2。

$$3x-2y=4$$

將 2y 加到方程式的兩邊。

$$3x=2y+4$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(2y+4\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 4+2y。

$$x=\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}$$

在另一個方程式 3x+2y=4 中以 \frac{4+2y}{3} 代入 x在方程式。

$$3\left(\frac{2}{3}y+\frac{4}{3}\right)+2y=4$$

3 乘上 \frac{4+2y}{3}。

$$2y+4+2y=4$$

將 2y 加到 2y。

$$4y+4=4$$

從方程式兩邊減去 4。

$$4y=0$$

將兩邊同時除以 4。

$$y=0$$

在 x=\frac{2}{3}y+\frac{4}{3} 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{4}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{4}{3},y=0$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x-2y+2=6,3x+2y=4$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3\times 2-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{3\times 2-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{3\times 2-\left(-2\times 3\right)}&\frac{3}{3\times 2-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\times 4+\frac{1}{6}\times 4\\-\frac{1}{4}\times 4+\frac{1}{4}\times 4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\0\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{4}{3},y=0$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x-2y+2=6,3x+2y=4$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3x-2y+2=6 減去 3x+2y=4。

$$3x-3x-2y-2y+2=6-4$$

將 3x 加到 -3x。 3x 和 -3x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-2y-2y+2=6-4$$

將 -2y 加到 -2y。

$$-4y+2=6-4$$

將 6 加到 -4。

$$-4y+2=2$$

從方程式兩邊減去 2。

$$-4y=0$$

將兩邊同時除以 -4。

$$y=0$$

在 3x+2y=4 中以 0 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$3x=4$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{4}{3}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{4}{3},y=0$$