解決{l}{3x=-4y}{5x-6y=38} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x = - 4 y } \\ { 5 x - 6 y = 38 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x=4$$

$$y=-3$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 新增 4y 至兩側。

$$3x+4y=0$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+4y=0,5x-6y=38$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+4y=0$$

從方程式兩邊減去 4y。

$$3x=-4y$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-4\right)y$$

\frac{1}{3} 乘上 -4y。

$$x=-\frac{4}{3}y$$

在另一個方程式 5x-6y=38 中以 -\frac{4y}{3} 代入 x在方程式。

$$5\left(-\frac{4}{3}\right)y-6y=38$$

5 乘上 -\frac{4y}{3}。

$$-\frac{20}{3}y-6y=38$$

將 -\frac{20y}{3} 加到 -6y。

$$-\frac{38}{3}y=38$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{38}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-3$$

在 x=-\frac{4}{3}y 中以 -3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{4}{3}\left(-3\right)$$

-\frac{4}{3} 乘上 -3。

$$x=4$$

現已成功解出系統。

$$x=4,y=-3$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 新增 4y 至兩側。

$$3x+4y=0$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+4y=0,5x-6y=38$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&4\\5&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{3\left(-6\right)-4\times 5}&-\frac{4}{3\left(-6\right)-4\times 5}\\-\frac{5}{3\left(-6\right)-4\times 5}&\frac{3}{3\left(-6\right)-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\\\frac{5}{38}&-\frac{3}{38}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\38\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{19}\times 38\\-\frac{3}{38}\times 38\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=4,y=-3$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 新增 4y 至兩側。

$$3x+4y=0$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+4y=0,5x-6y=38$$

讓 3x 和 5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$5\times 3x+5\times 4y=0,3\times 5x+3\left(-6\right)y=3\times 38$$

化簡。

$$15x+20y=0,15x-18y=114$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 15x+20y=0 減去 15x-18y=114。

$$15x-15x+20y+18y=-114$$

將 15x 加到 -15x。 15x 和 -15x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$20y+18y=-114$$

將 20y 加到 18y。

$$38y=-114$$

將兩邊同時除以 38。

$$y=-3$$

在 5x-6y=38 中以 -3 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5x-6\left(-3\right)=38$$

-6 乘上 -3。

$$5x+18=38$$

從方程式兩邊減去 18。

$$5x=20$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=4$$

現已成功解出系統。

$$x=4,y=-3$$