解決{l}{3x+y=6}{x+3y=6} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 6 } \\ { x + 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$y = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+y=6,x+3y=6$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+y=6$$

從方程式兩邊減去 y。

$$3x=-y+6$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+6\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -y+6。

$$x=-\frac{1}{3}y+2$$

在另一個方程式 x+3y=6 中以 -\frac{y}{3}+2 代入 x在方程式。

$$-\frac{1}{3}y+2+3y=6$$

將 -\frac{y}{3} 加到 3y。

$$\frac{8}{3}y+2=6$$

從方程式兩邊減去 2。

$$\frac{8}{3}y=4$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{8}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{3}{2}$$

在 x=-\frac{1}{3}y+2 中以 \frac{3}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{3}\times \frac{3}{2}+2$$

-\frac{1}{3} 乘上 \frac{3}{2} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=-\frac{1}{2}+2$$

將 2 加到 -\frac{1}{2}。

$$x=\frac{3}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{3}{2}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+y=6,x+3y=6$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-1}&-\frac{1}{3\times 3-1}\\-\frac{1}{3\times 3-1}&\frac{3}{3\times 3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{8}&\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\6\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 6-\frac{1}{8}\times 6\\-\frac{1}{8}\times 6+\frac{3}{8}\times 6\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\\frac{3}{2}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{3}{2}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+y=6,x+3y=6$$

讓 3x 和 x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$3x+y=6,3x+3\times 3y=3\times 6$$

化簡。

$$3x+y=6,3x+9y=18$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 3x+y=6 減去 3x+9y=18。

$$3x-3x+y-9y=6-18$$

將 3x 加到 -3x。 3x 和 -3x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$y-9y=6-18$$

將 y 加到 -9y。

$$-8y=6-18$$

將 6 加到 -18。

$$-8y=-12$$

將兩邊同時除以 -8。

$$y=\frac{3}{2}$$

在 x+3y=6 中以 \frac{3}{2} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x+3\times \frac{3}{2}=6$$

3 乘上 \frac{3}{2}。

$$x+\frac{9}{2}=6$$

從方程式兩邊減去 \frac{9}{2}。

$$x=\frac{3}{2}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{3}{2},y=\frac{3}{2}$$