解決{l}{3x+y=2}{5x-y=8} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 2 } \\ { 5 x - y = 8 } \end{array} \right.$$

解 x、y

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

$$y = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1.75$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+y=2,5x-y=8$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+y=2$$

從方程式兩邊減去 y。

$$3x=-y+2$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+2\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -y+2。

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}$$

在另一個方程式 5x-y=8 中以 \frac{-y+2}{3} 代入 x在方程式。

$$5\left(-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\right)-y=8$$

5 乘上 \frac{-y+2}{3}。

$$-\frac{5}{3}y+\frac{10}{3}-y=8$$

將 -\frac{5y}{3} 加到 -y。

$$-\frac{8}{3}y+\frac{10}{3}=8$$

從方程式兩邊減去 \frac{10}{3}。

$$-\frac{8}{3}y=\frac{14}{3}$$

對方程式的兩邊同時除以 -\frac{8}{3}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=-\frac{7}{4}$$

在 x=-\frac{1}{3}y+\frac{2}{3} 中以 -\frac{7}{4} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{3}\left(-\frac{7}{4}\right)+\frac{2}{3}$$

-\frac{1}{3} 乘上 -\frac{7}{4} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{7}{12}+\frac{2}{3}$$

將 \frac{2}{3} 與 \frac{7}{12} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=\frac{5}{4}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{5}{4},y=-\frac{7}{4}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+y=2,5x-y=8$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-5}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-5}\\-\frac{5}{3\left(-1\right)-5}&\frac{3}{3\left(-1\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{5}{8}&-\frac{3}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 2+\frac{1}{8}\times 8\\\frac{5}{8}\times 2-\frac{3}{8}\times 8\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4}\\-\frac{7}{4}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=\frac{5}{4},y=-\frac{7}{4}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+y=2,5x-y=8$$

讓 3x 和 5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$5\times 3x+5y=5\times 2,3\times 5x+3\left(-1\right)y=3\times 8$$

化簡。

$$15x+5y=10,15x-3y=24$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 15x+5y=10 減去 15x-3y=24。

$$15x-15x+5y+3y=10-24$$

將 15x 加到 -15x。 15x 和 -15x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$5y+3y=10-24$$

將 5y 加到 3y。

$$8y=10-24$$

將 10 加到 -24。

$$8y=-14$$

將兩邊同時除以 8。

$$y=-\frac{7}{4}$$

在 5x-y=8 中以 -\frac{7}{4} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5x-\left(-\frac{7}{4}\right)=8$$

從方程式兩邊減去 \frac{7}{4}。

$$5x=\frac{25}{4}$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=\frac{5}{4}$$

現已成功解出系統。

$$x=\frac{5}{4},y=-\frac{7}{4}$$