解決{l}{3x+y=11}{-4x-y=11} |Microsoft數學求解器

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + y = 11 } \\ { - 4 x - y = 11 } \end{array} \right.$$

解 x, y

$$x=-22$$

$$y=77$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$3x+y=11$$

從方程式兩邊減去 y。

$$3x=-y+11$$

將兩邊同時除以 3。

$$x=\frac{1}{3}\left(-y+11\right)$$

\frac{1}{3} 乘上 -y+11。

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}$$

在另一個方程式 -4x-y=11 中以 \frac{-y+11}{3} 代入 x在方程式。

$$-4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3}\right)-y=11$$

-4 乘上 \frac{-y+11}{3}。

$$\frac{4}{3}y-\frac{44}{3}-y=11$$

將 \frac{4y}{3} 加到 -y。

$$\frac{1}{3}y-\frac{44}{3}=11$$

將 \frac{44}{3} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{1}{3}y=\frac{77}{3}$$

將兩邊同時乘上 3。

$$y=77$$

在 x=-\frac{1}{3}y+\frac{11}{3} 中以 77 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=-\frac{1}{3}\times 77+\frac{11}{3}$$

-\frac{1}{3} 乘上 77。

$$x=\frac{-77+11}{3}$$

將 \frac{11}{3} 與 -\frac{77}{3} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=-22$$

現已成功解出系統。

$$x=-22,y=77$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\11\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11-11\\4\times 11+3\times 11\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22\\77\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-22,y=77$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$3x+y=11,-4x-y=11$$

讓 3x 和 -4x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -4，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 3。

$$-4\times 3x-4y=-4\times 11,3\left(-4\right)x+3\left(-1\right)y=3\times 11$$

化簡。

$$-12x-4y=-44,-12x-3y=33$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -12x-4y=-44 減去 -12x-3y=33。

$$-12x+12x-4y+3y=-44-33$$

將 -12x 加到 12x。 -12x 和 12x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-4y+3y=-44-33$$

將 -4y 加到 3y。

$$-y=-44-33$$

將 -44 加到 -33。

$$-y=-77$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=77$$

在 -4x-y=11 中以 77 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-4x-77=11$$

將 77 加到方程式的兩邊。

$$-4x=88$$

將兩邊同時除以 -4。

$$x=-22$$

現已成功解出系統。

$$x=-22,y=77$$